--- kurs: - F0005T tags: - fysik - kvantfysik - samband förkunskaper: - "[[Fotonen]]" - "[[Bohrs modell för väteatomen]]" status: utkast aliases: - Materievåg - de Broglie-våglängd - Partiklar som vågor --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Fotonen]], [[Bohrs modell för väteatomen]] --- Om ljus med våglängden $\lambda$ bär rörelsemängden $p=h/\lambda$, föreslog de Broglie år 1924 att sambandet kan vändas: varje partikel med rörelsemängden $p$ har en våglängd. För en elektron accelererad genom en spänning blir våglängden av storleksordningen $10^{-10}$ m, alltså jämförbar med atomavstånd, medan den $1836$ gånger tyngre protonen får en motsvarande kortare. Antagandet förklarar också Bohrs kvantiseringsvillkor: en bana måste rymma ett helt antal våglängder, $2\pi r_n=n\lambda$, vilket ger kvantiseringen av $L_n$ utan postulat. $$ \boxed{\;\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{mv}=\dfrac{h}{\sqrt{2mK}}\;} $$ *Fysika: Fd3* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{\lambda}_{\substack{\text{partikelns}\\\text{våglängd}}} =\dfrac{h}{\underbrace{p}_{\substack{\text{rörelse-}\\\text{mängd}}}} =\dfrac{h}{\sqrt{2m\underbrace{K}_{\substack{\text{rörelse-}\\\text{energi}}}}} $$ Samma samband som för fotonen, $p=h/\lambda$, men läst baklänges: större rörelsemängd ger kortare våglängd. För en partikel med massa växer $p$ bara som $\sqrt{K}$, så fyra gånger rörelseenergin halverar våglängden. --- ## 1. Våglängd och frekvens för en partikel De Broglie gav partikeln samma två samband som [[Fotonen|fotonen]] har: våglängden bestäms av rörelsemängden som i rutan ovan, och frekvensen av energin, $$ f=\dfrac{E}{h} $$ Men de övriga fotonsambanden gäller *inte* för en partikel med massa. Den rör sig inte med ljusfarten, så $f=c/\lambda$ och $E=pc$ är fel. För en icke-relativistisk partikel kopplas rörelsemängden i stället till den kinetiska energin: $$ K=\dfrac12mv^2=\dfrac{p^2}{2m} $$ $$ p=\sqrt{2mK} $$ vilket ger den sista formen i rutan, $\lambda=h/\sqrt{2mK}$. Våglängden är alltså omvänt proportionell mot $\sqrt{K}$ för en partikel men mot $E$ för en foton. --- ## 2. Elektron accelererad genom en spänning En elektron som startar från vila och accelereras genom spänningen $V$ får den kinetiska energin $K=eV$. Insatt i $\lambda=h/\sqrt{2mK}$: $$ \boxed{\;\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2m_eeV}}\;} $$ Med konstanterna insatta blir det en praktisk tumregel, med $V$ i volt: $$ \lambda\approx\dfrac{1{,}226}{\sqrt{V}}\text{ nm} $$ Redan $150$ V ger $\lambda\approx0{,}100$ nm, samma storlek som avståndet mellan atomerna i en kristall — därför kan elektroner visa [[Elektrondiffraktion|diffraktion]] mot kristaller. Fyra gånger högre spänning halverar våglängden. ![[f05-elektronkanon-lambda.png|520]] *En elektronkanon: elektronerna faller genom spänningen $V$ och får $K=eV$, och deras våglängd blir $\lambda=h/\sqrt{2m_eeV}$. Fyra gånger högre spänning dubblar rörelsemängden och halverar våglängden.* ![[f05-debroglie-lambda-k.png|520]] *Våglängd mot energi för foton, elektron och neutron. För att nå $\lambda=0{,}1$ nm (skuggat band) behöver fotonen $12$ keV, elektronen $150$ eV och neutronen bara $0{,}08$ eV. Fotonlinjen har lutningen $-1$ och partikellinjerna $-1/2$, tills elektronen blir relativistisk och böjer av mot fotonens lutning.* --- ## 3. Relativistiska partiklar När den kinetiska energin inte längre är liten jämfört med viloenergin $mc^2$ — för elektroner $511$ keV — måste rörelsemängden tas ur det relativistiska sambandet $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ med $E=K+mc^2$: $$ (K+mc^2)^2=(pc)^2+(mc^2)^2 $$ $$ (pc)^2=K^2+2Kmc^2 $$ $$ \boxed{\;\lambda=\dfrac{hc}{\sqrt{K^2+2Kmc^2}}\;} $$ - **$K\ll mc^2$:** $K^2$ försummas, och vi får tillbaka $\lambda=h/\sqrt{2mK}$. - **$K\gg mc^2$:** $\lambda\approx hc/K$, samma som för en foton med energin $K$. Den klassiska formeln ger för lång våglängd, och felet är ungefär $K/(4mc^2)$. För elektroner blir det $1\ \%$ vid omkring $20$ keV; i elektronmikroskop, med $40$–$400$ kV, måste man räkna relativistiskt. --- ## 4. Varför vi inte ser materievågor i vardagen Vågeffekter som diffraktion märks bara när våglängden är jämförbar med hindret eller öppningen. En tennisboll på $57$ g med farten $50$ m/s har $$ \lambda=\dfrac{h}{mv}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{0{,}057\cdot50}=2{,}3\cdot10^{-34}\text{ m} $$ *Fysika: Te (h)* — långt under storleken av en atomkärna. Det är Plancks konstants litenhet som gör vardagsföremålens vågnatur omärkbar. För elektroner i atomer är däremot $\lambda$ lika stor som atomen själv, och där bestämmer vågnaturen allt: Bohrs kvantiseringsvillkor är just kravet att en stående elektronvåg ska få plats runt banan, se [[Bohrs modell för väteatomen]]. > [!warning] Vanliga fel > - **Fotonformler används för elektroner.** $f=c/\lambda$ och $E=pc$ gäller bara för masslösa partiklar. För en elektron är $p=\sqrt{2mK}$. > - **eV och J blandas.** I $\lambda=h/\sqrt{2mK}$ med SI-enheter ska $K$ vara i joule: $K=eV$ med $e=1{,}602\cdot10^{-19}$ C. > - **Fel massa.** En proton eller neutron med samma kinetiska energi som en elektron har ungefär $\sqrt{1836}\approx43$ gånger kortare våglängd. > - **Klassisk formel vid höga energier.** Över ett tiotal keV för elektroner blir felet märkbart; använd $\lambda=hc/\sqrt{K^2+2Kmc^2}$. > - **Samma energi tros ge samma våglängd.** En foton och en elektron med samma energi har mycket olika våglängder, eftersom de har olika samband mellan energi och rörelsemängd. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Elektron och foton med samma energi > En elektron har den kinetiska energin $150$ eV, och en foton har energin $150$ eV. Bestäm båda våglängderna och kvoten mellan elektronens och fotonens rörelsemängd. > > > [!note]- Lösning > > **Elektronen.** $K=150\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\text{ J}=2{,}403\cdot10^{-17}$ J, så > > $$ > > p_e=\sqrt{2m_eK}=\sqrt{2\cdot9{,}109\cdot10^{-31}\cdot2{,}403\cdot10^{-17}}=6{,}62\cdot10^{-24}\text{ kg}\cdot\text{m/s} > > $$ > > $$ > > \lambda_e=\dfrac{h}{p_e}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{6{,}62\cdot10^{-24}}=\boxed{0{,}100\text{ nm}} > > $$ > > > > **Fotonen.** > > $$ > > \lambda_f=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{150\text{ eV}}=\boxed{8{,}27\text{ nm}} > > $$ > > > > **Kvoten.** Fotonen har $p_f=E/c$, så med $m_ec^2=511$ keV: > > $$ > > \dfrac{p_e}{p_f}=\dfrac{\sqrt{2m_eK}}{K/c}=\sqrt{\dfrac{2m_ec^2}{K}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot511\,000}{150}}=\boxed{82{,}5} > > $$ > > Samma kvot fås som $\lambda_f/\lambda_e$, eftersom $p=h/\lambda$ för båda. > > Vid samma energi har elektronen alltså mycket större rörelsemängd och mycket kortare våglängd. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Elektroner i ett elektronmikroskop > I ett transmissionselektronmikroskop accelereras elektroner från vila genom spänningen $100$ kV. Bestäm de Broglie-våglängden, dels med den klassiska formeln och dels relativistiskt. Hur stort blir det relativa felet om man räknar klassiskt? > > > [!note]- Lösning > > **Klassiskt.** Tumregeln ger > > $$ > > \lambda_{\text{kl}}=\dfrac{1{,}226}{\sqrt{1{,}00\cdot10^{5}}}\text{ nm}=3{,}88\cdot10^{-3}\text{ nm}=\boxed{3{,}88\text{ pm}} > > $$ > > > > **Relativistiskt.** Med $K=100$ keV, $mc^2=511$ keV och $hc=1{,}240$ keV·nm: > > $$ > > \sqrt{K^2+2Kmc^2}=\sqrt{100^2+2\cdot100\cdot511}=\sqrt{112\,200}=335\text{ keV} > > $$ > > $$ > > \lambda=\dfrac{1{,}240\text{ keV}\cdot\text{nm}}{335\text{ keV}}=3{,}70\cdot10^{-3}\text{ nm}=\boxed{3{,}70\text{ pm}} > > $$ > > > > **Felet.** > > $$ > > \dfrac{3{,}88-3{,}70}{3{,}70}\approx\boxed{4{,}8\ \%} > > $$ > > Det stämmer med uppskattningen $K/(4mc^2)=100/2044\approx4{,}9\ \%$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1309|39.1 Electron Waves]] --- ← [[Reducerad massa]] · [[F0005T]] · [[Elektrondiffraktion]] →