---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - atomfysik
  - princip
förkunskaper:
  - "[[Elektronspin]]"
  - "[[Kvanttal]]"
status: utkast
aliases:
  - Pauliprincipen
  - Uteslutningsprincipen
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Elektronspin]], [[Kvanttal]]

---

Inga två elektroner i samma system kan ha samma uppsättning kvanttal $(n,l,m_l,m_s)$. Principen är det som tvingar elektroner att fylla allt högre orbitaler i stället för att samlas i det lägsta tillståndet, och därmed det som ger atomerna deras skalstruktur.

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{N_l}_{\substack{\text{platser i}\\\text{underskalet}}}=\underbrace{2}_{\substack{\text{spinn}\\\text{upp, ner}}}\cdot\underbrace{(2l+1)}_{\substack{\text{värden}\\\text{på }m_l}}
$$

$$
\underbrace{N_n}_{\substack{\text{platser}\\\text{i skalet}}}=\underbrace{2}_{\text{spinn}}\cdot\underbrace{n^{2}}_{\substack{\text{orbitaler}\\(l,\,m_l)}}
$$

Varje orbital $(n,l,m_l)$ är en ruta med plats för två elektroner, en med spinn upp och en med spinn ner. Att räkna platser är att räkna rutor och dubbla.

---

## 1. Principen

En elektrons tillstånd i en atom anges av fyra kvanttal: $n$, $l$ och $m_l$ för rörelsen kring kärnan och $m_s$ för spinnet (se [[Elektronspin]]). Paulis uteslutningsprincip säger att två elektroner aldrig kan dela alla fyra. Två elektroner kan alltså dela orbital $(n,l,m_l)$ bara om de har motsatt spinn.

Principen gäller alla partiklar med halvtaligt spinn — elektroner, protoner och neutroner — men inte fotoner. Kvantmekaniskt kommer den av att vågfunktionen för två identiska elektroner måste byta tecken när partiklarna byter plats. Sätts båda i samma tillstånd blir vågfunktionen noll, se [[Kvantintrassling]].

---

## 2. Att räkna tillstånd

Principen gör det enkelt att räkna hur många elektroner ett underskal eller ett skal rymmer. För givet $l$ finns $2l+1$ värden på $m_l$, och för vart och ett två värden på $m_s$:

$$
N_{l}=2(2l+1)
$$

Ett skal med huvudkvanttal $n$ innehåller underskalen $l=0,1,\ldots,n-1$:

$$
N_n=\sum_{l=0}^{n-1}2(2l+1)=4\sum_{l=0}^{n-1}l+2n
$$

$$
N_n=4\cdot\dfrac{(n-1)n}{2}+2n=2n^2
$$

$$
\boxed{\;N_l=2(2l+1)\qquad N_n=2n^2\;}
$$
*Fysika: Fd3 (Pauliprincipen och kvanttalen, som antalen bygger på)*

| Underskal | s | p | d | f |
|---|---|---|---|---|
| $l$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| platser $2(2l+1)$ | 2 | 6 | 10 | 14 |

| Skal | K | L | M | N |
|---|---|---|---|---|
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| platser $2n^2$ | 2 | 8 | 18 | 32 |

![[f05-pauli-platser.png|520]]

*Vänster: en orbital rymmer två elektroner med motsatt spinn, och en tredje skulle få samma fyra kvanttal som en av dem. Höger: L-skalet har en 2s-orbital och tre 2p-orbitaler, alltså $2+6=8=2n^2$ platser.*

---

## 3. Pauli är ingen kraft

Utan principen skulle alla elektroner i en atom falla ner i $1s$, och atomer med många elektroner skulle bli mindre och mindre med växande $Z$. Så ser det inte ut: atomer har ungefär samma storlek genom hela periodiska systemet, och den kemiska skillnaden mellan grannelement är stor. Orsaken är inte den elektriska repulsionen mellan elektronerna — den finns också, men den kan inte hindra två elektroner från att hamna i samma tillstånd. Det är uteslutningsprincipen som tvingar varje ny elektron upp i nästa lediga tillstånd och därmed ger [[Elektronkonfiguration|skalstrukturen]].

Samma princip styr elektronerna i en metall, där den leder till [[Fermi-Dirac-fördelningen]].

> [!warning] Vanliga fel
> - **$n^2$ i stället för $2n^2$.** $n^2$ är antalet orbitaler $(l,m_l)$ i skalet. Spinnet dubblar antalet platser.
> - **"Två elektroner per orbital" missförstås.** Det gäller per trippel $(n,l,m_l)$, inte per underskal. Ett p-underskal rymmer sex, inte två.
> - **$l$ får gå upp till $n$.** Det största värdet är $l=n-1$, så skalet $n=2$ har bara s och p.
> - **Principen används på fotoner.** Fotoner har heltaligt spinn och kan gärna vara många i samma tillstånd; det är det en [[Laser]] utnyttjar.

---

## 4. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Hur många elektroner får plats?
> Hur många elektroner i en atom kan ha
> (a) $n=4$,
> (b) $n=4$ och $l=2$,
> (c) $n=3$ och $m_l=+1$?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Hela skalet $n=4$:
> > $$
> > N=2n^2=2\cdot4^2=\boxed{32}
> > $$
> >
> > **b)** Ett d-underskal, oberoende av $n$:
> > $$
> > N=2(2l+1)=2\cdot5=\boxed{10}
> > $$
> >
> > **c)** $m_l=+1$ kräver $l\ge1$. För $n=3$ ger det $l=1$ eller $l=2$, alltså två orbitaler $(3,1,+1)$ och $(3,2,+1)$. Var och en rymmer två spinnlägen:
> > $$
> > N=2\cdot2=\boxed{4}
> > $$
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1415|41.6 Many-Electron Atoms and the Exclusion Principle]]

---

← [[Elektronspin]] · [[F0005T]] · [[Elektronkonfiguration]] →