Jonbindning

Kurs: F0005T Förkunskaper: Elektronkonfiguration

---

En atom lämnar över en eller två valenselektroner till en annan, så att båda får fulla skal och blir joner med motsatt laddning — natrium ger sin $3s$-elektron till klor och bildar $\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}$ och $\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}$. De motsatta laddningarna attraherar varandra och bygger saltkristaller. Bindningen är stark men bryts till exempel av vattenlösning. Samma sak gäller molekylära joner som $\mathrm{N}{\mathrm{H}}_4^{+}$ och $\mathrm{S}{\mathrm{O}}_4^{2-}$.

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{bindnings-}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{E_B}}=\underset{\begin{array}{c}\text{dra isa¨r}\\ \text{jonerna}\end{array}}{\underbrace{\left|U(r_0)\right|}}-\underset{\begin{array}{c}\text{ges tillbaka}\\ \text{na¨r jonerna}\\ \text{blir atomer}\end{array}}{\underbrace{\left(E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}\right)}}$$

$$U(r_0)=\underset{\begin{array}{c}\text{punkt-}\\ \text{laddningar}\end{array}}{\underbrace{-\frac{k{e}^2}{r_0}}}\underset{\begin{array}{c}\text{repulsionen}\\ \text{tar andelen }1/n\end{array}}{\underbrace{\left(1-\frac{1}{n}\right)}}$$

Jonerna tjänar $|U(r_0)|$ på att dras ihop, men de har först kostat $E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}$ att skapa. För NaCl blir det $5,7-1,5\approx 4,2$ eV.

---

1. Energibalansen när jonerna bildas

Att flytta en elektron från natrium till klor kostar energi innan jonerna ens har närmat sig varandra. Två storheter avgör kostnaden:

• Joniseringsenergin $E_{\text{jon}}$ är energin som krävs för att ta bort elektronen från den neutrala atomen. För $\mathrm{Na}$ är den $5,138$ eV.
• Elektronaffiniteten $E_{\text{aff}}$ är energin som frigörs när en neutral atom tar upp en extra elektron. För $\mathrm{Cl}$ är den $3,613$ eV, eftersom $3p$-skalet då blir fullt och den extra elektronen känner en stor del av kärnladdningen.

Att bilda två joner långt från varandra kostar alltså nettot

$$\Delta E=E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}=5,138\text{ eV}-3,613\text{ eV}=1,525\text{ eV}$$

Jonerna är alltså inte lägre i energi än de neutrala atomerna så länge de är åtskilda. Det är först den elektriska attraktionen mellan dem som gör bindningen lönsam.

Energibokföringen för NaCl, räknat från två neutrala atomer. Att flytta elektronen kostar netto $5,14-3,61=1,53$ eV, och först när jonerna dras ihop till $r_0$ ($-5,7$ eV) hamnar molekylen $4,2$ eV under atomerna.

Överföringen syns också i elektronmolnen. Natriums ensamma $3s$-elektron är svagt bunden och sprider ut sig långt från kärnan. När den är borta återstår ett kompakt $\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}$ med bara fyllda inre skal. Klor tar emot elektronen i $3p$-skalet, och $\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}$ blir något större än den neutrala atomen.

Na och Cl före (överst) och efter (underst) elektronöverföringen, i 3D (vrid med musen). Na krymper kraftigt när den yttre $3s$-elektronen försvinner, och $\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}$ sväller lite. Isoytorna ligger vid samma täthet för alla fyra, $0,05$, $0,005$ och $0,0005$ elektroner per $a_0^3$, och hovringen visar radien. Kvalitativ modell med Slater-orbitaler.

Jonbindningar kan också omfatta två elektroner per atom. Jordalkalimetaller som magnesium lämnar ifrån sig två elektroner och bildar till exempel $\mathrm{M}{\mathrm{g}}^{2+}(\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}{)}_2$. Överföring av fler än två elektroner är ovanlig, och då tar kovalent bindning över.

---

2. Potentialkurvan $U(r)$

När jonerna närmar sig varandra sjunker den elektriska potentiella energin som för två punktladdningar, $-k{e}^2/r$ med $k{e}^2=1,44$ eV·nm. På kort avstånd överlappar elektronmolnen, och Paulis uteslutningsprincip tvingar elektronerna till högre tillstånd. Det ger en repulsion som växer mycket snabbt. En enkel modell är

$$U(r)=-\frac{k{e}^2}{r}+\frac{B}{r^n}$$

där $B$ och exponenten $n$ anpassas till mätdata. Summan har ett minimum vid jämviktsavståndet $r_0$: för $r>r_0$ drar jonerna i varandra, för $r<r_0$ stöter de bort varandra.

Härledning av energin i minimum

Villkoret för minimum.

$$\frac{dU}{dr}=\frac{k{e}^2}{r^2}-\frac{nB}{r^{n+1}}=0\text{vid }r=r_0$$

$$B=\frac{k{e}^2{r}_0^{n-1}}{n}$$

Sätt tillbaka i $U$.

$$U(r_0)=-\frac{k{e}^2}{r_0}+\frac{k{e}^2{r}_0^{n-1}}{n{r}_0^n}=-\frac{k{e}^2}{r_0}+\frac{k{e}^2}{n{r}_0}$$

$$U(r_0)=-\frac{k{e}^2}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

Repulsionen minskar alltså bindningen med andelen $1/n$ av punktladdningsvärdet.

$$\boxed{U(r_0)=-\frac{k{e}^2}{r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)}$$

Bindningsenergin är energin som krävs för att dela molekylen i två neutrala atomer. Jonerna ska först dras isär, vilket kostar $|U(r_0)|$, och sedan få tillbaka elektronen, vilket ger tillbaka $E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}$:

$$\boxed{E_B=\left|U(r_0)\right|-\left(E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}\right)}$$

NaCl. Som punktladdningar på avståndet $0,24$ nm är $k{e}^2/r_0=1,44/0,24=6,0$ eV. Det uppmätta minimivärdet är $-5,7$ eV, något grundare eftersom molnen redan överlappar. Bindningsenergin blir $5,7-1,525\approx 4,2$ eV.

$U(r)$ för $\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+}$ och $\mathrm{C}{\mathrm{l}}^{-}$, räknat från två neutrala atomer. Långt isär ligger jonerna $1,53$ eV över de neutrala atomerna. Den streckade kurvan är ren Coulombattraktion. Den heldragna är modellkurvan med repulsion, anpassad så att minimum hamnar vid $0,24$ nm och $-5,7$ eV elektrisk potentiell energi, alltså $-4,2$ eV relativt de neutrala atomerna.

Vanliga fel

• Bindningsenergin räknas mot joner i stället för mot atomer. $|U(r_0)|$ är energin för att separera jonerna. Bindningsenergin för molekylen gäller neutrala atomer, så $E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}$ ska dras av.
• Fel tecken på elektronaffiniteten. Affiniteten är energi som frigörs. Nettokostnaden för jonerna är $E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}$, inte summan.
• Punktladdningsvärdet tas som exakt. $k{e}^2/r_0$ överskattar bindningen, eftersom repulsionen från överlappande elektronmoln saknas. Faktorn $1-1/n$ korrigerar för det.
• Enheterna i $k{e}^2/r$. Med $k{e}^2=1,44$ eV·nm och $r$ i nm blir svaret direkt i eV. Med SI-enheter blir det joule och måste räknas om.

---

3. Lösta exempel

Exempel — Kaliumbromid

Joniseringsenergin för kalium är $4,34$ eV och elektronaffiniteten för brom är $3,36$ eV. Jämviktsavståndet i en KBr-molekyl är $0,282$ nm. a) Vilken energi krävs för att bilda åtskilda joner ${\mathrm{K}}^{+}$ och $\mathrm{B}{\mathrm{r}}^{-}$ ur neutrala atomer? b) Vilken är den elektriska potentiella energin vid $r_0$ om jonerna behandlas som punktladdningar? c) Uppskatta bindningsenergin med punktladdningsmodellen. d) Upprepa c) med repulsionen $B/r^9$, alltså $n=9$.

Lösning

a)

$$E_{\text{jon}}-E_{\text{aff}}=4,34\text{ eV}-3,36\text{ eV}=\boxed{0,98\text{ eV}}$$

b)

$$U=-\frac{k{e}^2}{r_0}=-\frac{1,44\text{ eV}\cdot \text{nm}}{0,282\text{ nm}}=\boxed{-5,11\text{ eV}}$$

c)

$$E_B=5,11\text{ eV}-0,98\text{ eV}=\boxed{4,13\text{ eV}}$$

d) Med $n=9$ minskar $|U(r_0)|$ med andelen $1/9$:

$$\left|U(r_0)\right|=5,11\cdot \frac{8}{9}\text{ eV}=4,54\text{ eV}$$

$$E_B=4,54\text{ eV}-0,98\text{ eV}=\boxed{3,56\text{ eV}}$$

Repulsionen sänker uppskattningen med ungefär $0,6$ eV, alltså runt $14\%$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Se jämförelsen i 6. Bindningstyperna jämförda.

Läsning

• 42.1 Types of Molecular Bonds

---

← Metallisk bindning · F0005T · Van der Waals-bindning →