--- kurs: - F0005T tags: - fysik - atomfysik - storhet förkunskaper: - "[[Kvanttal]]" status: utkast aliases: - Spin - Spinkvanttal - Spin upp och spin ner --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Kvanttal]] --- Elektronen har ett rörelsemängdsmoment och ett magnetiskt moment som inte beror på dess rörelse i orbitalen utan är en inneboende egenskap. Goudsmit och Uhlenbeck postulerade det år 1925 med den klassiska analogin att elektronen roterar kring sin egen axel; bilden är felaktig men namnet sitter kvar. Spinkvanttalet är alltid $s=\tfrac{1}{2}$, och $z$-komponenten har bara två möjliga värden, kallade spin upp och spin ner. Dirac visade år 1928 att spinnet följer ur den relativistiska Schrödingerekvationen — ursprunget är alltså fundamentalt kvantmekaniskt. $$ \boxed{\;s=\frac{1}{2}\qquad m_s=\pm\frac{1}{2}\;} $$ *Fysika: Fd3 (spinnkvanttal, där skrivet $s=\pm\tfrac12$)* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{S_z}_{\substack{\text{komponenten}\\\text{längs }z}}=\underbrace{m_s}_{\pm\frac{1}{2}}\,\hbar $$ $$ \underbrace{U}_{\substack{\text{energin}\\\text{i fältet}}}=\underbrace{g}_{\approx2}\,m_s\,\underbrace{\mu_B}_{\substack{\text{Bohr-}\\\text{magnetonen}}}\,B $$ Spinnet har bara två lägen längs en vald axel. Eftersom $g\approx2$ ger det halva kvanttalet $m_s=\pm\tfrac12$ ändå en hel Bohrmagneton i energi, $U\approx\pm\mu_BB$. --- ## 1. Spinnets rörelsemängdsmoment Spinnet kvantiseras på samma sätt som banrörelsemängdsmomentet i [[Kvanttal]], men med kvanttalet $s=\tfrac12$ i stället för ett heltal $l$. En mätning av komponenten längs en axel, som vi kallar $z$, ger bara två värden: $$ S_z=m_s\hbar=\pm\dfrac{\hbar}{2} $$ Beloppet följer samma mönster som $L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$, med $l$ utbytt mot $s$: $$ S=\sqrt{s(s+1)}\,\hbar=\sqrt{\dfrac12\cdot\dfrac32}\,\hbar=\dfrac{\sqrt3}{2}\,\hbar $$ $$ \boxed{\;S_z=m_s\hbar\qquad S=\dfrac{\sqrt3}{2}\,\hbar\approx0{,}866\,\hbar\;} $$ Eftersom $S>|S_z|$ pekar spinnet aldrig rakt längs $z$-axeln; vektorn ligger på en kon kring axeln. Med spinnet räknat behövs fyra kvanttal $(n,l,m_l,m_s)$ för att beskriva elektronens tillstånd i en atom fullständigt, vilket är utgångspunkten för [[Paulis uteslutningsprincip]]. --- ## 2. Spinnets magnetiska moment Banrörelsen ger ett magnetiskt moment $\mu_z=-(e/2m)L_z$ (se [[Zeemaneffekten]]). Spinnet ger också ett, men proportionalitetskonstanten är ungefär dubbelt så stor: $$ \mu_z=-g\,\dfrac{e}{2m}\,S_z\qquad g\approx2{,}00232 $$ Minustecknet kommer av elektronens negativa laddning: momentet pekar motsatt spinnet. Dirac fick $g=2$ exakt ur sin relativistiska teori, och kvantelektrodynamiken ger den lilla korrektionen. I ett yttre fält $B$ längs $z$ är energin $$ U=-\mu_zB $$ $$ U=g\,\dfrac{e}{2m}\,S_zB=g\,\dfrac{e}{2m}\,m_s\hbar\,B $$ och med Bohrmagnetonen $\mu_B=e\hbar/2m=5{,}788\cdot10^{-5}$ eV/T: $$ \boxed{\;U=g\,m_s\,\mu_B B\approx\pm\mu_B B\;} $$ Spin upp ($m_s=+\tfrac12$) har alltså momentet riktat mot fältet och den *högre* energin. Skillnaden mellan de två spinnlägena är $$ \Delta E=g\mu_BB $$ En foton med just den energin kan vända spinnet. Det är principen bakom elektronspinnresonans, som för fält kring $0{,}3$ T hamnar i mikrovågsområdet. --- ## 3. Stern–Gerlachs experiment Ett inhomogent magnetfält ger en nettokraft på ett magnetiskt moment, $F_z=\mu_z\,dB/dz$. Stern och Gerlach skickade år 1922 en stråle neutrala atomer genom ett sådant fält och fick strålen uppdelad efter momentets komponent längs fältet. - **Bara banrörelse.** Ett rörelsemängdsmoment med kvanttal $l$ har $2l+1$ komponenter, alltså ett *udda* antal strålar. - **Vad man såg.** Vissa atomstrålar, till exempel silver med en ensam elektron utanför fyllda skal och $l=0$, delades i *två* strålar. Ett jämnt antal $2j+1=2$ kräver $j=\tfrac12$, ett halvtaligt rörelsemängdsmoment som ingen banrörelse kan ge. Det var ett av de experimentella skälen till att spinnet infördes. ![[f05-stern-gerlach.png|520]] *Stern–Gerlachs försök. En stråle silveratomer passerar ett inhomogent magnetfält, där kraften $F_z=\mu_z\,dB/dz$ beror på momentets komponent längs fältet. Om momentet kunde peka åt alla håll skulle strålen smetas ut till ett streck; i stället träffar den skärmen på två ställen, ett för varje värde på $S_z$.* > [!warning] Vanliga fel > - **$S=\hbar/2$.** Det är komponenten $S_z$. Beloppet är $S=\tfrac{\sqrt3}{2}\hbar$. > - **$s$ och $m_s$ blandas ihop.** $s=\tfrac12$ gäller alltid för en elektron. Det är $m_s$ som är $\pm\tfrac12$. > - **Faktorn $g$ glöms.** Trots att $S_z$ bara är $\hbar/2$ blir spinmomentets komponent ungefär en hel Bohrmagneton, $\tfrac{g}{2}\mu_B\approx\mu_B$, eftersom $g\approx2$. > - **Fel tecken på energin.** Elektronens moment är motriktat spinnet. Spin upp i ett fält längs $+z$ har därför den högre energin, $U=+\tfrac{g}{2}\mu_BB$. > - **Den snurrande kulan tas bokstavligt.** Spinnet är en inneboende kvantegenskap. En klassisk kula med elektronens moment skulle behöva en ythastighet långt över ljusets. --- ## 4. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Spinnets belopp och vinkel > Beräkna beloppet av elektronens spinrörelsemängdsmoment $S$ och den minsta vinkel som $\vec S$ kan bilda med $z$-axeln. > > > [!note]- Lösning > > **Beloppet.** Med $s=\tfrac12$: > > $$ > > S=\sqrt{s(s+1)}\,\hbar=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot1{,}055\cdot10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}=\boxed{9{,}13\cdot10^{-35}\text{ J}\cdot\text{s}} > > $$ > > *Fysika: Te ($\hbar$)* > > > > **Vinkeln.** Den minsta vinkeln fås när $S_z$ är så stor som möjligt, $S_z=+\hbar/2$: > > $$ > > \cos\theta=\dfrac{S_z}{S}=\dfrac{1/2}{\sqrt3/2}=\dfrac{1}{\sqrt3}=0{,}577 > > $$ > > $$ > > \theta=\boxed{54{,}7^\circ} > > $$ > > > > Spinnet kan alltså aldrig ligga närmare $z$-axeln än drygt $50^\circ$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Att vända spinnet > En fri elektron ($l=0$) befinner sig i ett magnetfält $B=0{,}350$ T. Vilken energi krävs för att vända spinnet från det lägre till det högre energitillståndet, och vilken frekvens har en foton med den energin? Använd $g=2{,}00232$. > > > [!note]- Lösning > > **Energiskillnaden.** De två lägena har $U=\pm\tfrac{g}{2}\mu_BB$, så > > $$ > > \Delta E=g\mu_BB=2{,}00232\cdot5{,}788\cdot10^{-5}\text{ eV/T}\cdot0{,}350\text{ T}=\boxed{4{,}06\cdot10^{-5}\text{ eV}} > > $$ > > > > **Frekvensen.** $\Delta E=hf$ ger > > $$ > > f=\dfrac{\Delta E}{h}=\dfrac{4{,}06\cdot10^{-5}\text{ eV}}{4{,}136\cdot10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}}=\boxed{9{,}81\text{ GHz}} > > $$ > > > > Våglängden är ungefär $3$ cm, alltså mikrovågor. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1408|41.5 Electron Spin]] --- ← [[Atomorbitaler]] · [[F0005T]] · [[Paulis uteslutningsprincip]] →