--- kurs: - F0005T tags: - fysik - atomfysik - samband förkunskaper: - "[[Röntgenstrålning]]" - "[[Elektronkonfiguration]]" status: utkast aliases: - Moseleys samband - Karakteristisk röntgenstrålning - K-alfa --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Röntgenstrålning]], [[Elektronkonfiguration]] --- Topparna ovanpå bromsstrålningens kontinuum kommer av att infallande elektroner slår loss en elektron ur K-skalet och att hålet fylls från L-skalet, så att $E_L-E_K=hf$. Moseley studerade den högsta toppen $K_\alpha$ och fann sambandet experimentellt; det härleds ur väteatomens energinivåer med $Z_{\text{eff}}=Z-1$, eftersom den kvarvarande K-elektronen skärmar en enhet av kärnladdningen. Uttryckt i invers våglängd blir konstanten $8{,}23\cdot10^{6}\ \mathrm{m^{-1}}$. Mätning av $\lambda_{K\alpha}$ identifierar alltså grundämnet. $$ \boxed{\;f=a\left(Z-1\right)^{2},\qquad a=2{,}47\cdot10^{15}\ \mathrm{Hz}\;} $$ *Fysika: Fd3 (i formen $\lambda^{-1}=a(Z-1)^2$ med $a=8{,}23\cdot10^{6}\ \text{m}^{-1}$)* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{f}_{\substack{K_\alpha\text{-linjens}\\\text{frekvens}}}=\underbrace{a}_{10{,}2\text{ eV}/h}\,\big(\underbrace{Z-1}_{\substack{\text{kärnladdning}\\\text{minus en}}}\big)^{2} $$ Linjen är vätets övergång $n=2\to1$, men med kärnladdningen $Z-1$ i stället för $1$, eftersom den kvarvarande K-elektronen skärmar en enhet. Därför växer frekvensen med kvadraten på atomnumret. --- ## 1. Ett hål i K-skalet I ett [[Röntgenstrålning|röntgenrör]] kan en infallande elektron med tillräcklig energi slå ut en av de två elektronerna i atomens innersta skal, K-skalet ($n=1$). Hålet fylls snabbt av en elektron från ett högre skal, och energiskillnaden sänds ut som en röntgenfoton: - **$K_\alpha$:** hålet fylls från L-skalet ($n=2\to1$). - **$K_\beta$:** hålet fylls från M-skalet ($n=3\to1$), något högre energi. ![[f05-moseley-k-hal.png|520]] *Så uppstår $K_\alpha$. En snabb elektron slår ut en av de två K-elektronerna, en L-elektron faller ner i hålet, och energiskillnaden sänds ut som en röntgenfoton. L-elektronen ser kärnan genom den kvarvarande K-elektronen, alltså ungefär laddningen $Z-1$.* Fotonenergin bestäms av atomens egna nivåer och inte av rörspänningen, så linjerna hamnar på samma ställe hur spänningen än väljs — bara den räcker för att slå ut en K-elektron. De ligger som smala toppar ovanpå [[Bromsstrålning|bromsstrålningens]] kontinuum. --- ## 2. Härledning ur väteatomen Innan hålet fylls finns en enda elektron kvar i K-skalet. Den ligger mellan kärnan och L-elektronen och skärmar en enhet av kärnladdningen, så L-elektronen känner ungefär $Z_{\text{eff}}=Z-1$. Med energierna för ett [[Väteliknande system|väteliknande system]]: $$ E_n\approx-\dfrac{(Z-1)^2}{n^2}\cdot13{,}6\text{ eV} $$ *Fysika: Fd3 (energinivåer för väteliknande system, med $Z-1$ i stället för $Z$ och $E_H=13{,}6$ eV från Te)* Fotonenergin är skillnaden mellan $n=2$ och $n=1$: $$ E_{K\alpha}=E_2-E_1=(Z-1)^2\cdot13{,}6\text{ eV}\left(1-\dfrac14\right) $$ $$ \boxed{\;E_{K\alpha}\approx(Z-1)^2\cdot10{,}2\text{ eV}\;} $$ Dividerar vi med $h$ får vi frekvensen: $$ f=\dfrac{E_{K\alpha}}{h}=\dfrac{10{,}2\text{ eV}}{4{,}136\cdot10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}}\,(Z-1)^2=2{,}47\cdot10^{15}\text{ Hz}\cdot(Z-1)^2 $$ *Fysika: Te ($h$)* vilket är Moseleys lag i rutan överst. Skärmningen $Z-1$ är en grov modell — L-elektronen skärmas också delvis av de andra elektronerna — men den stämmer inom någon procent. --- ## 3. Linjen i $\sqrt f$ och periodiska systemet Tar vi roten ur Moseleys lag blir $\sqrt f$ en rät linje i $Z$, som skär $Z$-axeln vid $Z=1$: $$ \sqrt f=\sqrt a\,(Z-1) $$ ![[f05-moseley.png|520]] *$\sqrt f$ för uppmätta $K_\alpha$-linjer mot atomnumret. Punkterna följer linjen från Moseleys lag, och linjen skär $Z$-axeln vid $Z=1$, inte vid origo — det är skärmningen från den kvarvarande K-elektronen.* Moseley mätte linjerna år 1913 och kunde ordna grundämnena efter kärnladdning i stället för atommassa. Kobolt och nickel, som står i omvänd ordning efter massa, hamnade rätt, och luckor i serien visade var ännu okända grundämnen saknades. På samma sätt ger hål i L-skalet en **L-serie** när de fylls från M- och N-skalen. Den har betydligt lägre energier än K-serien. --- ## 4. Absorptionskanter Samma nivåer syns i absorption. När röntgenfotoner passerar ett material ökar absorptionen plötsligt när fotonenergin blir stor nog att lyfta ut en K-elektron. Den skarpa ökningen kallas **K-absorptionskant**. Kanten ligger något över $K_\alpha$-energin, eftersom elektronen måste tas bort helt och inte bara flyttas till L-skalet, som ju redan är fullt. > [!warning] Vanliga fel > - **$Z$ i stället för $Z-1$.** För koppar ger $Z^2$ ungefär $7\ \%$ för hög energi; det är skärmningen som gör lagen träffsäker. > - **$13{,}6$ eV i stället för $10{,}2$ eV.** Faktorn $1-\tfrac14=\tfrac34$ kommer av att elektronen faller från $n=2$, inte från oändligheten. > - **Linjen beror på rörspänningen.** $K_\alpha$ bestäms av atomen. Spänningen avgör bara om linjen syns alls och var bromsstrålningen slutar. > - **Fel prefix.** Röntgenenergier anges i keV och våglängder i tiondels nanometer. $hc=1240$ eV·nm ger $\lambda$ i nm bara om $E$ står i eV. --- ## 5. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Kopparns $K_\alpha$-linje > Uppskatta energin och våglängden för $K_\alpha$-strålningen från en kopparanod ($Z=29$). > > > [!note]- Lösning > > **Energin.** > > $$ > > E_{K\alpha}=(Z-1)^2\cdot10{,}2\text{ eV}=28^2\cdot10{,}2\text{ eV}=7997\text{ eV}\approx\boxed{8{,}00\text{ keV}} > > $$ > > > > **Våglängden.** > > $$ > > \lambda=\dfrac{hc}{E}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{7997\text{ eV}}=\boxed{0{,}155\text{ nm}} > > $$ > > *Fysika: T k1 (uppmätt $\lambda_{K\alpha1}=154{,}2$ pm för Cu)* > > > > **Rimlighetskoll.** Uppmätt är $8{,}05$ keV och $0{,}154$ nm, alltså under en procents avvikelse. Våglängden är av samma storlek som atomavstånden i en kristall, vilket gör kopparstrålning användbar för kristallografi. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Identifiera ett okänt ämne > $K_\alpha$-linjen från ett okänt grundämne har våglängden $0{,}194$ nm. Vilket grundämne är det? > > > [!note]- Lösning > > **Frekvensen.** > > $$ > > f=\dfrac{c}{\lambda}=\dfrac{2{,}998\cdot10^{8}\text{ m/s}}{0{,}194\cdot10^{-9}\text{ m}}=1{,}55\cdot10^{18}\text{ Hz} > > $$ > > > > **Lös ut $Z$ ur Moseleys lag.** > > $$ > > (Z-1)^2=\dfrac{f}{a}=\dfrac{1{,}55\cdot10^{18}}{2{,}47\cdot10^{15}}=626 > > $$ > > $$ > > Z-1=25{,}0\qquad Z=26{,}0 > > $$ > > > > **Grundämnet.** $Z=26$ är $\boxed{\text{järn}}$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1422|41.7 X-Ray Spectra]] --- ← [[Spin-bankoppling]] · [[F0005T]] · [[Kvantintrassling]] →