---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - tenta
  - fysik
  - vågrörelse
  - modern-fysik
status: utkast
datum: 2025-05-22
typ: tenta
examinator: Erik Olsson
aliases:
  - Tenta F0005T 2025-05-22
  - Fysik 2-tenta maj 2025
---
> **Kurs:** [[F0005T]] — Fysik 2
> **Datum:** 2025-05-22
> **Examinator:** Erik Olsson
> **Källa:** [[F0005T-250522.pdf|originaltentamen]] · [[F0005T-250522_solutions_CanvasEdition.pdf|lärarens lösningar]]
> **Hjälpmedel:** miniräknare och Fysika. 6 uppgifter, 18 poäng; betyg 3 vid 9 p, 4 vid 12,5 p och 5 vid 15,5 p.

> [!abstract] Översikt
> VÅG (uppgift 1–3):
> - harmonisk våg ur två punkters acceleration och hastighet: riktning, $\lambda$, $f$, amplitud och faskonstant (1), en spegelvänd variant av [[F0005T-2024-03-22|mars 2024]] uppgift 1
> - två slutna pipor: svävning och dopplereffekt (2)
> - dubbelspalt: gångvägsskillnad, diffraktionsminimum och kvoten $b/d$ (3)
>
> MOF (uppgift 4–6):
> - Bohrs modell för väte: omloppstid och antal de Broglie-våglängder per varv (4)
> - röntgenspektrum från platina och guld, och konstanten i Moseleys lag (5)
> - comptonspridning: elektronens rörelsemängd efter stöten (6)

> [!tip] Så använder du sidan
> Försök själv först, med Fysika framme som på tentan. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är och var den står i Fysika, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget eller fällan. **Lösning** är lärarens lösning med förklaringar mellan stegen; varje formel och tabellvärde har sin Fysika-kod. Där läraren bara gett svaret (seminarieuppgifter) är lösningsgången egen och svaret kontrollerat mot lärarens. Figurerna är interaktiva: håll muspekaren över kurvorna för exakta värden, och dra i reglagen där sådana finns.

---

## 1. Två punkter på en sträng, åt andra hållet

En transversell harmonisk våg propagerar längs en sträng som är utsträckt i $x$-riktning. Vid en tidpunkt $t = 0$ har en punkt $A$ maximal acceleration, $|a| = 394{,}8\ \text{m/s}^2$, i negativ $y$-riktning. Vid samma tidpunkt har en annan punkt $B$ lokaliserad $180\ \text{mm}$ i negativ $x$-riktning från punkt $A$ maximal hastighet, $v = 3{,}142\ \text{m/s}$ i positiv $y$-riktning. Avståndet mellan $A$ och $B$ är mindre än en våglängd, men längre än en halv våglängd.

a) I vilken riktning propagerar vågen. Motivera ditt svar med hjälp av en figur. *(0,5p)*

b) Bestäm vågens våglängd, frekvens och amplitud. *(1,5p)*

c) Hur lång tid tar det innan punkt $B$ har maximal acceleration i positiv $y$-riktning? *(0,5p)*

d) Låt vågen beskrivas med en $\sin$-funktion och punkten $A$ vara lokaliserad vid $x$-koordinaten $40{,}0\ \text{mm}$. Bestäm faskonstanten. *(0,5p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Harmonisk våg]], [[Fashastighet och partikelhastighet]] och [[Fas och faskonstant]]. *Fysika: Fc1* (harmonisk våg, partikelhastighet, $k = 2\pi/\lambda$, $\omega = 2\pi f$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Accelerationen är $-\omega^2 y$, så $A$ ligger i en topp. $B$ har största fart och ligger alltså i jämviktsläget. Amplituderna är $a_{max} = A\omega^2$ och $v_{max} = A\omega$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Mellan en topp och ett jämviktsläge är avståndet $\lambda/4$ eller $3\lambda/4$ (plus hela våglängder). Villkoret "mellan en halv och en hel våglängd" väljer $3\lambda/4$. Rita vågen och se på vilken sluttning $B$ ligger, och om den går upp eller ner.

> [!note]- Lösning
> Läraren går igenom uppgiften på seminarium 1 och ger bara svaren på b–d i facit, så lösningsgången nedan är egen.
>
> **a)** En punkt i en harmonisk våg har accelerationen $-\omega^2 y$, så största acceleration nedåt har en punkt i en **topp**: $A$ ligger i en topp. Största fart har en punkt i **jämviktsläget**: där ligger $B$. Mellan en topp och närmaste jämviktslägen är avståndet $\lambda/4$, och nästa möjlighet är $3\lambda/4$. Eftersom avståndet ska vara mellan en halv och en hel våglängd är $AB = 3\lambda/4$.
>
> Gå $3\lambda/4$ åt vänster från toppen $A$: först en kvarts våglängd ner till jämviktsläget, sedan ner i dalen och upp till jämviktsläget igen. $B$ ligger alltså på en sluttning som sjunker åt höger, ner mot dalen till höger om sig (se figuren nedan, $t = 0$). Om $B$ rör sig **uppåt** måste toppen till vänster om $B$ vara på väg mot $B$, så vågformen flyttar sig åt höger.
>
> Svar: vågen propagerar i **positiv $x$-riktning**.
>
> **b)** Avståndet $AB$ är tre kvarts våglängd:
> $$
> \frac{3\lambda}{4} = 180\ \text{mm}\ \Rightarrow\ \lambda = 240\ \text{mm}
> $$
> Kvoten mellan accelerationens och hastighetens amplitud ger vinkelfrekvensen:
> $$
> \omega = \frac{a_{max}}{v_{max}} = \frac{394{,}8}{3{,}142} = 125{,}65\ \text{rad/s}\ \Rightarrow\ f = \frac{\omega}{2\pi} = 20{,}00\ \text{Hz}
> $$
> *Fysika: Fc1 (partikelhastighet $v_p = ds/dt$, $\omega = 2\pi f$)*
>
> Amplituden:
> $$
> A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{3{,}142}{125{,}65} = 25{,}00\cdot 10^{-3}\ \text{m}
> $$
> Svar: $\boxed{\lambda = 240\ \text{mm}}$, $\boxed{f = 20{,}0\ \text{Hz}}$ och $\boxed{A = 25{,}0\ \text{mm}}$
>
> **c)** $B$ har maximal acceleration uppåt i en **dal**. Från jämviktsläget på väg uppåt når $B$ toppen efter $T/4$, jämviktsläget efter $T/2$ och dalen efter $3T/4$:
> $$
> t = \frac{3T}{4} = \frac{3}{4f} = \frac{3}{4\cdot 20{,}0} = 37{,}5\ \text{ms}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($T = 1/f$)*
>
> Svar: $\boxed{t = 37{,}5\ \text{ms}}$
>
> **d)** En våg i positiv $x$-riktning skrivs
> $$
> y = A\sin(kx - \omega t + \alpha)
> $$
> *Fysika: Fc1 (propagerande harmonisk våg; Fysika skriver $s = a\cos(\omega t \pm kx + \delta)$, och med sinus ändras bara faskonstantens värde)*
>
> Vid $t = 0$ ligger toppen $A$ vid $x = 40{,}0\ \text{mm}$, där $\sin(\dots) = 1$:
> $$
> \frac{2\pi}{240}\cdot 40 + \alpha = \frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}
> $$
> Kontroll med $B$ vid $x = -140\ \text{mm}$: fasen är $-7\pi/6 + \pi/6 = -\pi$, så $y = 0$, och $\partial y/\partial t = -A\omega\cos(-\pi) = +A\omega$, största fart uppåt.
>
> Svar: $\boxed{\alpha = \tfrac{\pi}{6}}$
>
> Dra i reglaget: vågen vandrar åt höger och $B$ går först uppåt. Vid $t = 37{,}5\ \text{ms}$ ligger en dal vid $B$.
>
> ![[f05t-250522-u1-reglage.png|620]]
>
> > [!info]- Jämför med mars 2024
> > I [[F0005T-2024-03-22|mars 2024]] uppgift 1 ligger $B$ $60\ \text{mm}$ till **höger** om $A$ och rör sig nedåt. Det är samma fasläge som här ($60 = 240 - 180$), men med motsatt rörelse, och därför går vågen åt andra hållet. Våglängd, frekvens, amplitud, tid och faskonstant blir desamma.
>
> *Svaret kontrollerat mot facit; lösningsgången är egen. Facit ger inget svar på a.*

---

## 2. Två slutna pipor och en mikrofon

Stående vågor (grundmoden) genereras i två pipor, bägge slutna i ena änden och öppna i den andra men med olika längder. Dom resulterande tryckvariationerna mäts med en mikrofon och resultatet ses i figuren nedan.

![[f05t-250522-u2-grafer.png|620]]

a) Ljudhastigheten är $341\ \text{m/s}$ och den längre pipan är $155\ \text{mm}$. Hur lång är den korta pipan? *(1,5p)*

b) Hur snabbt och i vilken riktning relativt mikrofonen ska den längre pipan förflyttas för att ingen svävning ska uppstå? *(1,5p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Stående vågor i pipor]], [[Svävning]] och [[Dopplereffekt]]. *Fysika: Fc1* ($v = f\lambda$), *Fc1a* (stående våg, svävningsfrekvens) och *Fc2* (dopplereffekten hos ljud).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > En pipa som är sluten i ena änden har en nod i den slutna och en buk i den öppna änden: grundmoden rymmer en kvarts våglängd, $\lambda = 4L$. Svävningsperioden läses av i figuren, och $f_{sv} = |f_1 - f_2|$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Den kortare pipan har den högre tonen. För b ska den längre pipans ton höjas till den kortares: källan måste röra sig **mot** mikrofonen.

> [!note]- Lösning
> **a)** I figuren är periodtiden för svävningen $\Delta t = 50\ \text{ms}$ (signalen dör ut vid cirka $19$ och $69\ \text{ms}$). Då är svävningsfrekvensen
> $$
> f_{sv} = \frac{1}{\Delta t} = \frac{1}{0{,}05} = 20\ \text{Hz}
> $$
> *Fysika: Fc1a (svävningsfrekvens $f_{sv} = |f_1 - f_2|$)*
>
> Den långa pipans frekvens får vi ur våglängden. Grundmoden i en pipa som är sluten i ena änden rymmer en kvarts våglängd:
> $$
> \lambda_1 = 4L_1\ \Rightarrow\ f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{v}{4L_1} = \frac{341}{4\cdot 0{,}155} = 550\ \text{Hz}
> $$
> *Fysika: Fc1 ($v = f\cdot\lambda$), Fc1a (stående våg i en dimension)*. Att förskjutningen har en nod vid den slutna änden och en buk vid den öppna står inte i Fysika.
>
> Den kortare pipan har högre frekvens:
> $$
> f_2 = f_1 + f_{sv} = 550 + 20 = 570\ \text{Hz}
> $$
> Piplängden blir då
> $$
> L_2 = \frac{v}{4f_2} = \frac{341}{4\cdot 570} = 0{,}1496\ \text{m}
> $$
> Svar: $\boxed{L_2 \approx 0{,}150\ \text{m} = 150\ \text{mm}}$
>
> **b)** Frekvensen från den längre pipan ska vara $570\ \text{Hz}$ för att ingen svävning ska uppstå. Eftersom frekvensen ska öka måste pipan röra sig **mot** mikrofonen. Mikrofonen står still, $v_m = 0$:
> $$
> \begin{aligned}
> f = f_1\,\frac{v - v_m}{v - v_s} = f_1\,\frac{v}{v - v_s}\ \Rightarrow\ \frac{v - v_s}{v} &= \frac{f_1}{f}\\
> \Rightarrow\ v_s = v\left(1 - \frac{f_1}{f}\right) = 341\left(1 - \frac{550}{570}\right) &= 11{,}96\ \text{m/s}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fc2 (dopplereffekten hos ljud; $v_s$ positiv om källan rör sig mot mottagaren)*
>
> Svar: $\boxed{v_s \approx 12\ \text{m/s}}$ **mot** mikrofonen.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 3. Dubbelspalten: vad ekvationerna betyder

Laserljus med våglängden $532\ \text{nm}$ träffar en dubbelspalt med spaltavståndet $d$ och spaltbredden $b$.

a) I fysika finns följande ekvation för interferensmaxima.
$$
d\sin\theta = m\lambda
$$
Förklara med både ord och en figur vad vänsterledet i ekvationen står för, och vilken approximation som ligger bakom. *(0,5p)*

b) Följande ekvation för diffraktionsminima finns på samma sida i Fysika.
$$
b\sin\theta = m\lambda
$$
Förklara med både ord och en figur hur det kan bli ett minima om högerledet är $2\lambda$. *(1p)*

c) Ljusmönstret studeras på en skärm $3{,}20$ meter bakom dubbelspalten. Det går att observera att 4:e interferensminima sammanfaller med 1:a diffraktionsminima. Beräkna kvoten $b/d$. *(1,5p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Dubbelspaltexperimentet]], [[Fraunhoferdiffraktion]] och [[Diffraktion]]. *Fysika: Fc5* (dubbelspalt: interferensmaxima och diffraktionsminima).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Om skärmen är långt bort är strålarna från olika punkter i spalterna nästan parallella, och skillnaden i gångväg mellan två strålar som startar avståndet $s$ isär är $s\sin\theta$. Interferensminima hamnar där gångvägsskillnaden mellan spalterna är ett udda antal halva våglängder.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > För b: dela spalten i fyra lika delar och para ihop strålar som ligger $b/4$ isär. För c: det första interferensminimumet har $d\sin\theta = \lambda/2$, det fjärde $7\lambda/2$. Avståndet till skärmen behövs inte.

> [!note]- Lösning
> **a)** $d\sin\theta$ är skillnaden i gångväg för vågorna från de två spaltöppningarna. Uttrycket gäller då avståndet till skärmen är stort och strålarna kan approximeras vara parallella (Fraunhoferdiffraktion): då är den streckade linjen i figuren vinkelrät mot båda strålarna, och från den linjen och ut till skärmen är vägarna lika långa.
>
> *Fysika: Fc5 (dubbelspalt, interferensmaxima $d\sin\theta = m\lambda$)*
>
> **b)** $b\sin\theta$ är skillnaden i gångväg mellan randstrålarna, från spaltens över- och underkant. Om den skillnaden är $2\lambda$ är skillnaden mellan översta strålen och den i mitten $1\lambda$, och skillnaden mellan randstrålen och den stråle som utgår från en punkt $b/4$ längre ner $0{,}5\lambda$. Det innebär att för varje stråle i den första fjärdedelen av öppningen finns det en stråle i den andra fjärdedelen som är helt ur fas med den, så de släcker ut varandra parvis. Detsamma gäller de nedre två fjärdedelarna av spaltöppningen. Hela spalten ger alltså ingenting i den riktningen: ett minimum.
>
> *Fysika: Fc5 (diffraktionsminima $b\sin\theta = m\lambda$)*
>
> ![[f05t-250522-u3-spalter.png|620]]
>
> **c)** Första diffraktionsminimum ($m = 1$):
> $$
> b\sin\theta = m\lambda\ \Rightarrow\ b = \frac{\lambda}{\sin\theta}
> $$
> *Fysika: Fc5 (diffraktionsminima)*
>
> Interferensminima ligger där gångvägsskillnaden är ett udda antal halva våglängder. Det fjärde interferensminimumet ($p = 3$, räknat från $p = 0$):
> $$
> d\sin\theta = (2p + 1)\frac{\lambda}{2}\ \Rightarrow\ d = \frac{7}{2}\,\frac{\lambda}{\sin\theta}
> $$
> *Fysika: Fc5 (dubbelspalt, $I \propto \cos^2(kd\sin\theta/2)$, som är noll när $kd\sin\theta/2 = (2p + 1)\pi/2$)*
>
> Kvoten blir då
> $$
> \frac{b}{d} = \frac{2}{7}
> $$
> Svar: $\boxed{b/d = 2/7 \approx 0{,}286}$
>
> > [!info]- Varför behövs inte skärmavståndet och våglängden?
> > Båda villkoren gäller i **samma** riktning $\theta$, så $\sin\theta$ och $\lambda$ förkortas bort i kvoten. Skärmavståndet $3{,}20\ \text{m}$ och $532\ \text{nm}$ skulle bara behövas om man ville veta var på skärmen minimumet ligger.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## 4. Ett varv i Bohrs väteatom

I Bohrs modell för väte cirkulerar elektronen runt protonen i olika orbital $n$. Gravitationskraften mellan protonen och elektronen kan försummas då den är väldigt svag i jämförelse med Coulombkraften.

a) Beräkna hur lång tid det tar för elektronen att färdas ett varv runt protonen i det 3:e orbitalet. *(2p)*

b) Beräkna kvoten mellan banans omkrets och elektronens de Broglie våglängd för det 3:e orbitalet. *(1p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Bohrs modell för väteatomen]] och [[De Broglie-våglängd]]. *Fysika: Fe1* (Coulombs lag), *Fb4* (cirkelrörelse, $a_n = v^2/r$), *Fd3* (banradie $r_n$, de Broglie-våglängden) och *Te* ($\varepsilon_0$, $h$, $e$, $m_e$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Coulombkraften är centripetalkraften: $e^2/(4\pi\varepsilon_0r^2) = mv^2/r$ ger farten i banan. Banradien $r_n = h^2\varepsilon_0n^2/(\pi m_ee^2)$ står i Fysika. Omloppstiden är $T = 2\pi r/v$.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > "Det 3:e orbitalet" är $n = 3$. I b: $\lambda = h/(mv)$, och svaret blir ett heltal. Det är just Bohrs villkor sett som en stående våg runt banan.

> [!note]- Lösning
> **a)** Coulombkraften mellan protonen och elektronen:
> $$
> F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r_n^2}
> $$
> *Fysika: Fe1 (Coulombs lag)*
>
> Vid cirkelrörelse är accelerationen riktad in mot centrum:
> $$
> a = \frac{v_n^2}{r_n}
> $$
> *Fysika: Fb4 (naturliga koordinater, $a_n = v^2/r$)*
>
> Vi sätter ihop dem med Newtons andra lag och löser ut farten:
> $$
> \begin{aligned}
> F = ma\ \Rightarrow\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r_n^2} &= \frac{mv_n^2}{r_n}\\
> \Rightarrow\ v_n &= \sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r_nm}}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fb1 (Newtons andra lag)*
>
> Tiden det tar att färdas ett varv:
> $$
> T = \frac{2\pi r_n}{v_n} = 2\pi r_n\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0r_nm}{e^2}} = \sqrt{\frac{16\pi^3\varepsilon_0r_n^3m}{e^2}}
> $$
> Vi använder uttrycket för radien från Fysika, $r_n = h^2\varepsilon_0n^2/(\pi me^2)$:
> $$
> \begin{aligned}
> T &= \sqrt{\frac{16\pi^3\varepsilon_0m}{e^2}\cdot\frac{h^6\varepsilon_0^3n^6}{\pi^3m^3e^6}} = \frac{4\varepsilon_0^2h^3n^3}{e^4m}\\
> &= \frac{4\cdot(8{,}8542\cdot 10^{-12})^2\cdot(6{,}62607\cdot 10^{-34})^3\cdot 27}{(1{,}60218\cdot 10^{-19})^4\cdot 9{,}10938\cdot 10^{-31}}\\
> &= 4{,}104\cdot 10^{-15}\ \text{s}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fd3 (banradie i bana $n$ för väte), Te ($\varepsilon_0$, $h$, $e$, $m_e$)*
>
> Svar: $\boxed{T \approx 4{,}10\cdot 10^{-15}\ \text{s}}$
>
> **b)** Med $\lambda = h/(mv_n)$ blir kvoten
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{2\pi r_n}{\lambda} &= \frac{2\pi r_nmv_n}{h} = \frac{2\pi}{h}\sqrt{\frac{mr_ne^2}{4\pi\varepsilon_0}}\\
> &= \frac{2\pi}{h}\sqrt{\frac{me^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{h^2\varepsilon_0n^2}{\pi me^2}} = n
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fd3 (de Broglie-våglängden, banradie)*
>
> Svar: $\boxed{3}$
>
> > [!info]- Varför blir det ett heltal?
> > Kvoten $2\pi r_n/\lambda = n$ är samma sak som Bohrs kvantvillkor $mvr = n\hbar$. De Broglie gav villkoret en bild: elektronens våg måste gå jämnt ut runt banan, som en stående våg på en ring, annars släcker den ut sig själv.
>
> *Kontrollerat mot facit. Facit har samma uttryck $T = 4\varepsilon_0^2h^3n^3/(e^4m)$ men svarar $4{,}145\cdot 10^{-15}\ \text{s}$; insatt ger uttrycket $4{,}104\cdot 10^{-15}\ \text{s}$ (samma som $n^3$ gånger omloppstiden $1{,}52\cdot 10^{-16}\ \text{s}$ i grundtillståndet), så facits siffervärde är ett räknefel.*

---

## 5. Platina, guld och konstanten i Moseleys lag

Elektroner accelereras genom en spänning på $85\ \text{kV}$ mot ett prov i syftet att undersöka förekomsten av platina i provet.

a) Vilken är den kortaste våglängden i bromsstrålningen? *(0,5p)*

b) Om det skulle finnas platina i provet, vid vilken våglängd i röntgenspektrumet skulle $K_\beta$ toppen för platina dyka upp? *(0,5p)*

c) Om provet innehöll guld, skulle det då synas i röntgenspektrumet? Motivera ditt svar. *(0,5p)*

d) Utgå från Bohrs modell för väteliknande system och härled fram värdet på konstanten $a$ i Moseleys lag. *(1,5p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Röntgenstrålning]], [[Bromsstrålning]] och [[Moseleys lag]]. *Fysika: Fd3* (gränsvåglängd, fotonenergi, Moseleys lag, energinivåer för väteliknande system), *T k1* (bindningsenergier för Pt och Au) och *Te* ($E_H$).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > $\lambda_{\min} = hc/(eU)$. $K_\beta$ är övergången $M \to K$, med fotonenergin $E_K - E_M$. För att ett grundämnes $K$-linjer ska synas måste elektronerna kunna slå ut en $K$-elektron.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > För d: en $L$-elektron som faller till $K$-skalet ser kärnladdningen skärmad av den kvarvarande $K$-elektronen, alltså $Z - 1$. Använd $E_n = -E_H(Z - 1)^2/n^2$ för övergången $2 \to 1$ och jämför med $\lambda^{-1} = a(Z - 1)^2$.

> [!note]- Lösning
> **a)** Den kortaste våglängden får den foton som får all elektronens energi:
> $$
> \begin{aligned}
> \frac{hc}{\lambda_{\min}} = eU\ \Rightarrow\ \lambda_{\min} &= \frac{hc}{eU} = \frac{6{,}62607\cdot 10^{-34}\cdot 299\,792\,458}{1{,}60218\cdot 10^{-19}\cdot 85\cdot 10^{3}}\\
> &= 14{,}59\cdot 10^{-12}\ \text{m}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fd3 (gränsvåglängd för kontinuerlig röntgenstrålning)*
>
> Svar: $\boxed{\lambda_{\min} \approx 14{,}6\ \text{pm}}$
>
> **b)** Energigapet mellan $M$- och $K$-skalet i platina:
> $$
> \Delta E = 78\,395 - 2121 = 76\,274\ \text{eV}
> $$
> *Fysika: T k1 (Pt: $K = 78\,395\ \text{eV}$, $M = 2121\ \text{eV}$)*
>
> Det motsvarar våglängden
> $$
> \frac{hc}{\lambda} = \Delta E\ \Rightarrow\ \lambda = \frac{hc}{\Delta E} = 16{,}255\cdot 10^{-12}\ \text{m}
> $$
> *Fysika: Fd3 (fotonenergi $E = hc/\lambda$)*
>
> Svar: $\boxed{\lambda_{K_\beta} \approx 16{,}26\ \text{pm}}$
>
> **c)** För att kunna påvisa guld måste de inkommande elektronerna ha tillräckligt med energi för att frigöra en elektron i $K$-skalet. Bindningsenergin i guldets $K$-skal är $80{,}724\ \text{keV}$, och de inkommande elektronerna har energin $85\ \text{keV}$, vilket räcker.
>
> *Fysika: T k1 (Au: $K = 80\,724\ \text{eV}$)*
>
> Svar: **ja**, guldets $K$-linjer kan synas.
>
> **d)** Enligt Bohrs modell ges energinivåerna för en atom som har blivit av med en elektron i $K$-skalet av
> $$
> E_n = -E_H\frac{(Z - 1)^2}{n^2}
> $$
> *Fysika: Fd3 (energinivåer för väteliknande system, med $Z$ ersatt av den skärmade laddningen $Z - 1$)*
>
> En $K_\alpha$-foton kommer från en övergång mellan $L$- och $K$-skalet:
> $$
> \begin{aligned}
> hf = \frac{hc}{\lambda} = E_2 - E_1 &= E_H(Z - 1)^2\left(1 - \frac{1}{4}\right)\\
> \Rightarrow\ \lambda^{-1} &= \frac{3}{4}\,\frac{E_H}{hc}\,(Z - 1)^2
> \end{aligned}
> $$
> Det innebär att konstanten $a$ i Moseleys lag är
> $$
> a = \frac{3}{4}\,\frac{E_H}{hc} = \frac{3}{4}\cdot\frac{13{,}6057\ \text{eV}}{1{,}23984\cdot 10^{-6}\ \text{eV}\cdot\text{m}} = 8{,}23\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}
> $$
> *Fysika: Fd3 (Moseleys lag, $a = 8{,}23\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}$), Te ($E_H$, $hc$)*
>
> Svar: $\boxed{a = 8{,}23\cdot 10^{6}\ \text{m}^{-1}}$, precis Fysikas värde.
>
> *Kontrollerat mot facit. Facits svarsrad i a avrundar till $15\ \text{pm}$ (uträkningen ger $14{,}59\ \text{pm}$).*

---

## 6. Comptonstöt: elektronens rörelsemängd

En foton med en energi på $85{,}0\ \text{keV}$ färdas i positiv $x$-riktning och kolliderar med en stillastående elektron. Efter kollisionen har fotonen våglängden $15{,}81\ \text{pm}$. Vilken rörelsemängd, till både storlek och riktning relativt $x$-axeln, har elektronen efter kollisionen? *(3p)*

*Totalpoäng: 3*

> [!tip]- Ledtråd 1
> [[Comptonspridning]] med rörelsemängdens bevarande. *Fysika: Fd3* (Comptonspridning, fotonenergi, $p = h/\lambda$) och *Fb7a* (rörelsemängd).
>
> > [!tip]- Ledtråd 2
> > Fotonens våglängd före stöten är $\lambda = hc/E$. Comptonformeln $\lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)$ ger fotonens spridningsvinkel $\theta$. Rörelsemängden bevaras i både $x$- och $y$-led.
> >
> > > [!tip]- Ledtråd 3
> > > Elektronens rörelsemängd är skillnaden mellan fotonens rörelsemängd före och efter, som vektorer: $p_x = h/\lambda - (h/\lambda')\cos\theta$ och $p_y = -(h/\lambda')\sin\theta$. Elektronen far iväg på **andra** sidan om $x$-axeln jämfört med fotonen.

> [!note]- Lösning
> Först fotonens riktning efter stöten. Före stöten är $\lambda = hc/E_f = 14{,}586\ \text{pm}$, så Comptonformeln ger
> $$
> \begin{aligned}
> \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1 - \cos\theta)\ \Rightarrow\ \cos\theta &= 1 - \frac{mc}{h}\left(\lambda' - \frac{hc}{E_f}\right)\\
> \Rightarrow\ \theta &= 60{,}285^\circ
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fd3 (Comptonspridning; fotonenergi $E = hc/\lambda$), Te (elektronens comptonvåglängd $h/(m_ec) = 2{,}4263\ \text{pm}$)*
>
> Elektronens rörelsemängd följer av att rörelsemängden bevaras. Fotonens rörelsemängd är $h/\lambda = E_f/c$:
> $$
> \begin{aligned}
> p_x &= \frac{h}{\lambda} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta = \frac{E_f}{c} - \frac{h}{\lambda'}\cos\theta = 2{,}465\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}\\
> p_y &= \frac{h}{\lambda'}\sin\theta = 3{,}640\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}
> \end{aligned}
> $$
> *Fysika: Fd3 (de Broglie, $p = h/\lambda$), Fb7a (rörelsemängd)*
>
> Elektronens totala rörelsemängd:
> $$
> p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = 4{,}396\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}
> $$
> och riktningen mot $x$-axeln ges av
> $$
> \beta = \tan^{-1}\frac{p_y}{p_x} = 55{,}89^\circ
> $$
> ![[f05t-250522-u6-compton.png|560]]
>
> Svar: $\boxed{p = 4{,}40\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}}$ i riktningen $\boxed{55{,}9^\circ}$ relativt $x$-axeln, på motsatt sida om $x$-axeln mot den spridda fotonen.
>
> > [!info]- Kontroll med energin
> > Elektronen får rörelseenergin $K = 85{,}0\ \text{keV} - hc/\lambda' = 6{,}58\ \text{keV}$. Relativistiskt är $pc = \sqrt{K^2 + 2Km_ec^2}$, vilket ger exakt samma $p = 4{,}396\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Energi och rörelsemängd stämmer alltså båda.
>
> *Kontrollerat mot facit.*

---

## Se även

- [[F0005T]] — kurssidan med alla tentor
- [[Harmonisk våg]] · [[Fashastighet och partikelhastighet]] · [[Fas och faskonstant]] · [[Stående vågor i pipor]] · [[Svävning]] · [[Dopplereffekt]]
- [[Dubbelspaltexperimentet]] · [[Fraunhoferdiffraktion]] · [[Diffraktion]]
- [[Bohrs modell för väteatomen]] · [[De Broglie-våglängd]] · [[Röntgenstrålning]] · [[Bromsstrålning]] · [[Moseleys lag]] · [[Comptonspridning]]