Stående vågor i pipor

Kurs: F0005T Förkunskaper: Stående våg, Ljudvåg

---

I en luftpelare kan stående ljudvågor bildas på samma sätt som på en sträng, men vågen är longitudinell — det är luftpartiklarnas förskjutning längs pipan som bildar mönstret. Randvillkoren skiljer sig åt: en öppen ände ger buk i förskjutningen, en sluten ände ger nod.

---

1. Förskjutning och tryck

Övertrycket i en ljudvåg är proportionellt mot förskjutningens rumsderivata, med bulkmodulen $B$ som konstant:

$$p(x,t)=-B\frac{\partial \Delta x(x,t)}{\partial x}$$

Eftersom trycket är derivatan av förskjutningen är de två mönstren förskjutna ett kvarts varv mot varandra: där förskjutningen har nod har trycket buk, och omvänt. Det är därför randvillkoren måste hållas isär.

• Sluten ände. Luften kan inte röra sig genom väggen, så förskjutningen har nod — och trycket buk.
• Öppen ände. Trycket måste matcha den omgivande luftens, så trycket har nod — och förskjutningen buk.

Resten av noten räknar på förskjutningen.

Luftskikten i pipan vid grundtonen, i ett ögonblick, och hur långt de svänger (pilarna). Vid en öppen ände svänger luften mest (förskjutningsbuk) medan trycket ligger fast; vid den slutna änden står luften still (förskjutningsnod) medan trycket varierar mest.

---

2. Öppen pipa

Är båda ändarna öppna ska det vara buk i var ände. Precis som för strängen rymmer pipan då ett helt antal halva våglängder:

$$L=n\frac{{\lambda }_n}{2}$$

$$\boxed{{\lambda }_n=\frac{2L}{n}}$$

$$n=1,2,3,\dots$$

Alla heltal är tillåtna. Med

$$f=\frac{v}{\lambda }$$

Fysika: Fc1 (i formen $v=f\cdot \lambda$)

blir frekvenserna

$$\boxed{f_n=\frac{nv}{2L}}$$

Här är $v$ ljudhastigheten i luften, inte någon egenskap hos pipan — en varmare pipa klingar högre utan att ha ändrat form.

---

3. Sluten pipa

Är ena änden stängd krävs nod där och buk i den öppna änden. Kortaste avståndet mellan en nod och en buk är en kvarts våglängd, så grundtonen ger

$$L=\frac{{\lambda }_1}{4}$$

Nästa möjliga mönster lägger till en halv våglängd i taget:

$$L=\frac{3{\lambda }_3}{4}$$

$$L=\frac{5{\lambda }_5}{4}$$

Mönstret blir

$$\boxed{{\lambda }_n=\frac{4L}{n}}$$

men bara för

$$n=1,3,5,\dots$$

De jämna talen faller bort — de skulle kräva nod eller buk i fel ände. Frekvenserna blir därmed

$$\boxed{f_n=\frac{nv}{4L}}$$

---

4. Jämförelse

	Öppen pipa	Sluten pipa
Randvillkor	buk–buk	nod–buk
Våglängder	${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$	${\lambda }_n=\frac{4L}{n}$
Frekvenser	$f_n=\frac{nv}{2L}$	$f_n=\frac{nv}{4L}$
Tillåtna $n$	$1,2,3,\dots$	$1,3,5,\dots$
Två skillnader följer direkt ur tabellen. Vid samma längd är den slutna pipans grundton hälften så hög som den öppna pipans, alltså en oktav djupare — en sluten pipa kan göras hälften så lång för samma ton. Och eftersom bara udda $n$ är tillåtna saknar den slutna pipan varannan överton, vilket ger den en tydligt annan klangfärg.

Läsning

• 16.4 Standing Sound Waves and Normal Modes
• 16.5 Resonance and Sound

Se även

• Stående våg
• Svängningsmoder
• Ljudvåg
• Ljudets hastighet
• Ljudintensitet och ljudnivå

Resurser

• Wikipedia: Acoustic resonance

---

← Ljudintensitet och ljudnivå · F0005T · Vågor på komplex form →