---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - akustik
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Stående våg]]"
  - "[[Ljudvåg]]"
status: utkast
aliases:
  - Luftpelare
  - Öppen pipa
  - Sluten pipa
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Stående våg]], [[Ljudvåg]]

---

I en luftpelare kan stående ljudvågor bildas på samma sätt som på en sträng, men vågen är longitudinell — det är luftpartiklarnas förskjutning längs pipan som bildar mönstret. Randvillkoren skiljer sig åt: en öppen ände ger buk i förskjutningen, en sluten ände ger nod.

---

## 1. Förskjutning och tryck

Övertrycket i en ljudvåg är proportionellt mot förskjutningens rumsderivata, med bulkmodulen $B$ som konstant:

$$
p(x,t)=-B\frac{\partial \Delta x(x,t)}{\partial x}
$$

Eftersom trycket är *derivatan* av förskjutningen är de två mönstren förskjutna ett kvarts varv mot varandra: där förskjutningen har nod har trycket buk, och omvänt. Det är därför randvillkoren måste hållas isär.

- **Sluten ände.** Luften kan inte röra sig genom väggen, så förskjutningen har nod — och trycket buk.
- **Öppen ände.** Trycket måste matcha den omgivande luftens, så trycket har nod — och förskjutningen buk.

Resten av noten räknar på förskjutningen.

![[f05-pipa-partiklar.png|520]]

*Luftskikten i pipan vid grundtonen, i ett ögonblick, och hur långt de svänger (pilarna). Vid en öppen ände svänger luften mest (förskjutningsbuk) medan trycket ligger fast; vid den slutna änden står luften still (förskjutningsnod) medan trycket varierar mest.*

---

## 2. Öppen pipa

Är båda ändarna öppna ska det vara buk i var ände. Precis som för [[Svängningsmoder|strängen]] rymmer pipan då ett helt antal halva våglängder:

$$
L=n\frac{\lambda_n}{2}
$$

$$
\boxed{\lambda_n=\frac{2L}{n}}
$$

$$
n=1,2,3,\ldots
$$

Alla heltal är tillåtna. Med

$$
f=\frac{v}{\lambda}
$$
*Fysika: Fc1 (i formen $v=f\cdot\lambda$)*

blir frekvenserna

$$
\boxed{f_n=\frac{nv}{2L}}
$$

Här är $v$ [[Ljudets hastighet|ljudhastigheten]] i luften, inte någon egenskap hos pipan — en varmare pipa klingar högre utan att ha ändrat form.

---

## 3. Sluten pipa

Är ena änden stängd krävs nod där och buk i den öppna änden. Kortaste avståndet mellan en nod och en buk är en kvarts våglängd, så grundtonen ger

$$
L=\frac{\lambda_1}{4}
$$

Nästa möjliga mönster lägger till en halv våglängd i taget:

$$
L=\frac{3\lambda_3}{4}
$$

$$
L=\frac{5\lambda_5}{4}
$$

Mönstret blir

$$
\boxed{\lambda_n=\frac{4L}{n}}
$$

men bara för

$$
n=1,3,5,\ldots
$$

De jämna talen faller bort — de skulle kräva nod eller buk i fel ände. Frekvenserna blir därmed

$$
\boxed{f_n=\frac{nv}{4L}}
$$

---

## 4. Jämförelse

| | Öppen pipa | Sluten pipa |
| --- | --- | --- |
| Randvillkor | buk–buk | nod–buk |
| Våglängder | $\lambda_n=\dfrac{2L}{n}$ | $\lambda_n=\dfrac{4L}{n}$ |
| Frekvenser | $f_n=\dfrac{nv}{2L}$ | $f_n=\dfrac{nv}{4L}$ |
| Tillåtna $n$ | $1,2,3,\ldots$ | $1,3,5,\ldots$ |
![[standing_waves_string_open_closed_pipe_modes.png]]
Två skillnader följer direkt ur tabellen. Vid samma längd är den slutna pipans grundton hälften så hög som den öppna pipans, alltså en oktav djupare — en sluten pipa kan göras hälften så lång för samma ton. Och eftersom bara udda $n$ är tillåtna saknar den slutna pipan varannan överton, vilket ger den en tydligt annan klangfärg.

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=544|16.4 Standing Sound Waves and Normal Modes]]
- [[z.University Physics.pdf#page=548|16.5 Resonance and Sound]]

## Se även

- [[Stående våg]]
- [[Svängningsmoder]]
- [[Ljudvåg]]
- [[Ljudets hastighet]]
- [[Ljudintensitet och ljudnivå]]

## Resurser

- [Wikipedia: Acoustic resonance](https://en.wikipedia.org/wiki/Acoustic_resonance)

---

← [[Ljudintensitet och ljudnivå]] · [[F0005T]] · [[Vågor på komplex form]] →