Fraunhoferdiffraktion

Kurs: F0005T Förkunskaper: Diffraktion, Interferens

---

Fraunhoferdiffraktion är diffraktion i fjärrfältet, där infallande och utgående strålar kan behandlas som parallella. Den ger intensitetsfördelningen bakom en enkelspalt, och mönstret breddas när spalten görs smalare eller våglängden ökar.

---

1. Fjärrfältsvillkoret

En spalt med bredden $a$ belyses och mönstret betraktas på avståndet $r$. Fraunhoferfallet innebär att $r$ i meterskala är mycket större än $a$ under millimeterskala, vilket gör att alla strålar fram till en given punkt kan räknas som parallella och att vinkeln $\theta$ blir densamma för dem alla.

---

2. Spalten som $N$ punktkällor

Vi delar upp spalten i $N$ punktformiga sändare med avståndet $d$ mellan grannarna, så att

$$a=(N-1)d$$

Fasskillnaden mellan randstrålarna — strålarna från spaltens två kanter — blir då summan av alla $N-1$ stegen, och den ges ett eget namn:

$$\beta =(N-1)\delta =(N-1)kd\sin \theta =ka\sin \theta$$

Med $\delta =\beta /(N-1)$ kan vi nu sätta in i uttrycket för intensiteten från $N$ ekvidistanta källor och få hela spaltens bidrag uttryckt i den enda variabeln $\beta$:

$$I_P=I\frac{{\sin }^2\left(\frac{N\beta }{2(N-1)}\right)}{{\sin }^2\left(\frac{\beta }{2(N-1)}\right)}$$

---

3. Gränsen $N\to \infty$

Spalten är inte en rad diskreta sändare utan ett kontinuum, så vi låter antalet källor växa medan bredden $a$ hålls konstant. Då blir $N-1=N$, och för stora $N$ är nämnarens argument så litet att $\sin (\beta /2N)\approx \beta /2N$:

$$I_P=I\frac{{\sin }^2\left(\beta /2\right)}{{\left(\beta /2N\right)}^2}=N^{2}I\frac{{\sin }^2\left(\beta /2\right)}{{\left(\beta /2\right)}^2}$$

Rakt fram är $\theta =0$ och därmed $\beta =0$, vilket ger $I_P=N^{2}I$. Den produkten är intensiteten rakt fram från spalten och skrivs $I_0$, så fördelningen blir

$$\boxed{I_P=I_0\frac{{\sin }^2\left(\beta /2\right)}{{\left(\beta /2\right)}^2}}\beta =nka\sin \theta =\frac{2\pi }{\lambda }na\sin \theta$$

Fysika: Fc5 (enkelspalt, med $b$ för spaltbredden $a$)

---

4. Huvudmaximum och minima

Till skillnad från multipelspalten ger formeln ett enda huvudmaximum, nämligen där $\beta /2=0$, alltså rakt fram vid $\theta =0$.

Minimum får vi där täljaren är noll utan att nämnaren är det, alltså $\sin (\beta /2)=0$ men $\beta /2\ne 0$:

$$\boxed{na\sin \theta =m\lambda }m=\pm 1,\pm 2,\dots$$

Fysika: Fc5 (i formen $b\sin \theta =m\lambda$)

Att $m=0$ är undantaget är hela poängen — där ligger centralmaximum, inte ett minimum.

Spalten delad i åtta källor vid första minimum, $a\sin \theta =\lambda$: källan mitt i spalten har $\lambda /2$ längre väg än källan i överkanten, och så vidare parvis nedåt — varje par släcker varandra.

---

5. Mönstrets bredd

Centralmaximum sträcker sig ut till det första minimumet på ömse sidor, alltså till

$$\sin \theta =\frac{\lambda }{na}$$

Vinkeln växer när $a$ minskar eller $\lambda$ ökar: en smalare spalt ger ett bredare mönster. Centralbilden blir dessutom dubbelt så bred som avståndet mellan två efterföljande minima, eftersom den sträcker sig från $m=-1$ till $m=+1$.

Läsning

• 36.1 Fresnel and Fraunhofer Diffraction
• 36.3 Intensity in the Single-Slit Pattern
• Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 3.2 Fraunhofer diffraktion

Se även

• Diffraktion
• Multipelspalt
• Dubbelspaltexperimentet
• Interferens
• Huygens princip
• Våglängd och vågtal

Resurser

• Wikipedia: Fraunhofer diffraction

---

← Dubbelspaltexperimentet · F0005T · Multipelspalt →