Multipelspalt

Kurs: F0005T Förkunskaper: Dubbelspaltexperimentet, Diffraktion, Fraunhoferdiffraktion

---

Med $N$ likadana spalter i stället för två blir interferensmaxima smalare och skarpare, medan deras lägen är oförändrade. Det är principen bakom det optiska gittret, som därför kan skilja närliggande våglängder åt.

---

1. Geometri och fasskillnad

Multipelspalten består av $N$ öppningar med spaltbredden $a$ och spaltavståndet $d$ mellan närliggande öppningar. Punkten $P$ ligger så långt bort att avståndet $r$ är mycket större än $(N-1)d$, vilket gör att de utgående strålarna kan räknas som parallella och vinkeln $\theta$ blir densamma för alla.

Gångvägsskillnaden mellan två grannspalter är då $d\sin \theta$, och den växer linjärt genom spaltraden till $2d\sin \theta$, $3d\sin \theta$ och slutligen $(N-1)d\sin \theta$ för den sista spalten. Omräknad till fas med vågtalet $k=2\pi /\lambda$ blir fasskillnaden mellan två grannstrålar

$$\delta =kd\sin \theta =\frac{2\pi }{\lambda }d\sin \theta$$

---

2. Intensiteten från $N$ punktkällor

Antar vi först att varje spalt är en punktkälla som sänder i fas och med samma amplitud, ger superpositionsprincipen att svängningen i $P$ är summan av $N$ termer som var och en är fasvriden $\delta$ relativt den föregående:

$$s_P=\frac{E_0}{r}{e}^{i(k{x}_1-\omega t)}\left(1+e^{i\delta }+e^{i2\delta }+\cdots +e^{i(N-1)\delta }\right)$$

Parentesen är en geometrisk serie med kvoten $e^{i\delta }$, och summeras den med $1+r+r^2+\cdots +r^{N-1}=\frac{1-r^N}{1-r}$ följt av Eulers formel blir amplituden proportionell mot $\sin (N\delta /2)/\sin (\delta /2)$. Intensiteten går som amplituden i kvadrat:

$$\boxed{I_P=I\frac{{\sin }^2\left(N\delta /2\right)}{{\sin }^2\left(\delta /2\right)}}$$

Fysika: Fc4b (med $\Delta \phi$ för $\delta$ och $I_0$ för en källas intensitet $I$)

Här är $I$ intensiteten i $P$ från en av källorna, och formeln gäller bara om alla källor ger samma intensitet i $P$. I gränsen $\delta \to 0$ går kvoten mot $N^2$, så rakt fram blir $I_P=N^{2}I$.

Vänster: gångvägen växer med $d\sin \theta$ för varje spalt. Höger: varje spalt ger en visare vriden $\delta$ mot föregående; vid $\delta =0$ ligger alla i rad (huvudmaximum), vid $\delta =2\pi /N$ sluter kedjan sig och summan blir noll (minimum).

---

3. Huvudmaxima

Intensiteten är maximal där uttrycket antar formen $0/0$, alltså där nämnaren $\sin (\delta /2)$ är noll. Det kräver $\delta /2=p\pi$, det vill säga $\delta =p\cdot 2\pi$, och insatt i fasskillnaden ovan ger det

$$\boxed{nd\sin \theta =p\lambda }p=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

Fysika: Fc4b (gitterekvationen, i formen $d\sin \theta =p\lambda$)

Villkoret gäller oberoende av hur många sändare vi har — det är samma villkor som för dubbelspalten, vilket är skälet till att huvudmaximas lägen inte flyttar sig när $N$ ökar. Intensiteten i ett huvudmaximum är

$$\boxed{I_{\max }=N^{2}I}$$

---

4. Minima och bimaxima

Minimum får vi när täljaren är noll utan att nämnaren är det, alltså $\sin (N\delta /2)=0$ men $\sin (\delta /2)\ne 0$:

$$\boxed{nd\sin \theta =\frac{q}{N}\lambda }q\ne pN$$

Fysika: Fc4b (i formen $Nd\sin \theta =m^{\prime }\lambda$)

Undantaget $q=pN$ måste skrivas ut, för då reduceras villkoret till $nd\sin \theta =p\lambda$ som i stället är ett huvudmaximum. Mellan två huvudmax ligger

$$N-1\text{ minima}\text{och}N-2\text{ bimaxima}$$

där bimaxima har betydligt lägre intensitet än huvudmaxima.

---

5. Spaltbredden — diffraktion gånger interferens

Uttrycket ovan behandlar varje spalt som en punkt. Har spalterna i stället bredden $a$ bidrar var och en med sin egen fraunhoferfördelning, och den multipliceras in som intensiteten från en enskild källa:

$$\boxed{I_P=I_0\frac{{\sin }^2\left(\beta /2\right)}{{\left(\beta /2\right)}^2}\cdot \frac{{\sin }^2\left(N\delta /2\right)}{{\sin }^2\left(\delta /2\right)}}$$

Fysika: Fc5 (N spalter, med $b$ för spaltbredden $a$)

De två vinkelvariablerna mäter olika saker: $\beta =(2\pi /\lambda )a\sin \theta$ är fasskillnaden mellan randstrålarna inom en spalt, medan $\delta =(2\pi /\lambda )d\sin \theta$ är fasskillnaden mellan strålarna från närliggande spalter. Diffraktionsfaktorn lägger sig som ett enveloppe över interferensmönstret och släcker det helt där

$$na\sin \theta =m\lambda m=\pm 1,\pm 2,\dots$$

Fysika: Fc5 (i formen $b\sin \theta =m\lambda$)

Sätter man $N=2$ faller uttrycket tillbaka på dubbelspalten.

---

6. Vägen till gittret

Det första minimum vid sidan om ett huvudmaximum ligger där $N\delta =2\pi$, alltså där

$$d\sin \theta =\frac{\lambda }{N}$$

Avståndet från huvudmaximum ut till dess närmaste minimum krymper alltså som $1/N$: huvudmaxima blir smalare ju fler spalter vi har, samtidigt som bimaxima blir fler och svagare. Då $N$ blir mycket stort återstår bara en rad mycket smala och skarpa huvudmax — det är ett gitter.

Läsning

• 36.4 Multiple Slits
• 36.5 The Diffraction Grating
• Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 3.1 Multipelspalt med N stycken punktkällor och 3.3 Multipelspalt

Se även

• Dubbelspaltexperimentet
• Fraunhoferdiffraktion
• Diffraktion
• Interferens
• Huygens princip
• Vågor på komplex form

Resurser

• Wikipedia: Diffraction grating

---

← Fraunhoferdiffraktion · F0005T · Interferens i tunna skikt →