--- kurs: - F0005T tags: - fysik - optik - fenomen förkunskaper: - "[[Dubbelspaltexperimentet]]" - "[[Diffraktion]]" - "[[Fraunhoferdiffraktion]]" status: utkast aliases: - Gitter - Optiskt gitter - N-spalt --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Dubbelspaltexperimentet]], [[Diffraktion]], [[Fraunhoferdiffraktion]] --- Med $N$ likadana spalter i stället för två blir interferensmaxima smalare och skarpare, medan deras lägen är oförändrade. Det är principen bakom det optiska gittret, som därför kan skilja närliggande våglängder åt. --- ## 1. Geometri och fasskillnad Multipelspalten består av $N$ öppningar med spaltbredden $a$ och spaltavståndet $d$ mellan närliggande öppningar. Punkten $P$ ligger så långt bort att avståndet $r$ är mycket större än $(N-1)d$, vilket gör att de utgående strålarna kan räknas som parallella och vinkeln $\theta$ blir densamma för alla. Gångvägsskillnaden mellan två grannspalter är då $d\sin\theta$, och den växer linjärt genom spaltraden till $2d\sin\theta$, $3d\sin\theta$ och slutligen $(N-1)d\sin\theta$ för den sista spalten. Omräknad till fas med [[Våglängd och vågtal|vågtalet]] $k=2\pi/\lambda$ blir fasskillnaden mellan två grannstrålar $$ \delta=k\,d\sin\theta=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,d\sin\theta $$ --- ## 2. Intensiteten från $N$ punktkällor Antar vi först att varje spalt är en punktkälla som sänder i fas och med samma amplitud, ger [[Superposition av vågor|superpositionsprincipen]] att svängningen i $P$ är summan av $N$ termer som var och en är fasvriden $\delta$ relativt den föregående: $$ s_P=\dfrac{E_0}{r}e^{i(kx_1-\omega t)}\left(1+e^{i\delta}+e^{i2\delta}+\cdots+e^{i(N-1)\delta}\right) $$ Parentesen är en geometrisk serie med kvoten $e^{i\delta}$, och summeras den med $1+r+r^2+\cdots+r^{N-1}=\dfrac{1-r^N}{1-r}$ följt av [[De Moivres och Eulers formler|Eulers formel]] blir amplituden proportionell mot $\sin(N\delta/2)/\sin(\delta/2)$. Intensiteten går som amplituden i kvadrat: $$ \boxed{I_P=I\,\dfrac{\sin^2\!\left(N\delta/2\right)}{\sin^2\!\left(\delta/2\right)}} $$ *Fysika: Fc4b (med $\Delta\varphi$ för $\delta$ och $I_0$ för en källas intensitet $I$)* Här är $I$ intensiteten i $P$ från *en* av källorna, och formeln gäller bara om alla källor ger samma intensitet i $P$. I gränsen $\delta\to 0$ går kvoten mot $N^2$, så rakt fram blir $I_P=N^2I$. ![[f05-multipelspalt-visare.png|520]] *Vänster: gångvägen växer med $d\sin\theta$ för varje spalt. Höger: varje spalt ger en visare vriden $\delta$ mot föregående; vid $\delta=0$ ligger alla i rad (huvudmaximum), vid $\delta=2\pi/N$ sluter kedjan sig och summan blir noll (minimum).* --- ## 3. Huvudmaxima Intensiteten är maximal där uttrycket antar formen $0/0$, alltså där nämnaren $\sin(\delta/2)$ är noll. Det kräver $\delta/2=p\pi$, det vill säga $\delta=p\cdot 2\pi$, och insatt i fasskillnaden ovan ger det $$ \boxed{nd\sin\theta=p\lambda} \qquad p=0,\pm 1,\pm 2,\ldots $$ *Fysika: Fc4b (gitterekvationen, i formen $d\sin\theta=p\lambda$)* Villkoret gäller oberoende av hur många sändare vi har — det är samma villkor som för dubbelspalten, vilket är skälet till att huvudmaximas *lägen* inte flyttar sig när $N$ ökar. Intensiteten i ett huvudmaximum är $$ \boxed{I_{\max}=N^2I} $$ --- ## 4. Minima och bimaxima Minimum får vi när täljaren är noll utan att nämnaren är det, alltså $\sin(N\delta/2)=0$ men $\sin(\delta/2)\neq 0$: $$ \boxed{nd\sin\theta=\dfrac{q}{N}\,\lambda} \qquad q\neq pN $$ *Fysika: Fc4b (i formen $Nd\sin\theta=m'\lambda$)* Undantaget $q=pN$ måste skrivas ut, för då reduceras villkoret till $nd\sin\theta=p\lambda$ som i stället är ett huvudmaximum. Mellan två huvudmax ligger $$ N-1 \text{ minima} \qquad\text{och}\qquad N-2 \text{ bimaxima} $$ där bimaxima har betydligt lägre intensitet än huvudmaxima. --- ## 5. Spaltbredden — diffraktion gånger interferens Uttrycket ovan behandlar varje spalt som en punkt. Har spalterna i stället bredden $a$ bidrar var och en med sin egen [[Fraunhoferdiffraktion|fraunhoferfördelning]], och den multipliceras in som intensiteten från en enskild källa: $$ \boxed{I_P=I_0\,\dfrac{\sin^2\!\left(\beta/2\right)}{\left(\beta/2\right)^2}\cdot\dfrac{\sin^2\!\left(N\delta/2\right)}{\sin^2\!\left(\delta/2\right)}} $$ *Fysika: Fc5 (N spalter, med $b$ för spaltbredden $a$)* De två vinkelvariablerna mäter olika saker: $\beta=(2\pi/\lambda)\,a\sin\theta$ är fasskillnaden mellan randstrålarna *inom* en spalt, medan $\delta=(2\pi/\lambda)\,d\sin\theta$ är fasskillnaden mellan strålarna från närliggande spalter. Diffraktionsfaktorn lägger sig som ett enveloppe över interferensmönstret och släcker det helt där $$ na\sin\theta=m\lambda \qquad m=\pm 1,\pm 2,\ldots $$ *Fysika: Fc5 (i formen $b\sin\theta=m\lambda$)* Sätter man $N=2$ faller uttrycket tillbaka på [[Dubbelspaltexperimentet|dubbelspalten]]. --- ## 6. Vägen till gittret Det första minimum vid sidan om ett huvudmaximum ligger där $N\delta=2\pi$, alltså där $$ d\sin\theta=\dfrac{\lambda}{N} $$ Avståndet från huvudmaximum ut till dess närmaste minimum krymper alltså som $1/N$: huvudmaxima blir smalare ju fler spalter vi har, samtidigt som bimaxima blir fler och svagare. Då $N$ blir mycket stort återstår bara en rad mycket smala och skarpa huvudmax — det är ett gitter. ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1224|36.4 Multiple Slits]] - [[z.University Physics.pdf#page=1226|36.5 The Diffraction Grating]] - Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 3.1 *Multipelspalt med N stycken punktkällor* och 3.3 *Multipelspalt* ## Se även - [[Dubbelspaltexperimentet]] - [[Fraunhoferdiffraktion]] - [[Diffraktion]] - [[Interferens]] - [[Huygens princip]] - [[Vågor på komplex form]] ## Resurser - [Wikipedia: Diffraction grating](https://en.wikipedia.org/wiki/Diffraction_grating) --- ← [[Fraunhoferdiffraktion]] · [[F0005T]] · [[Interferens i tunna skikt]] →