Fasordiagram

Kurs: F0005T Förkunskaper: Vågor på komplex form, Vektorer

---

En komplex amplitud kan ritas som en vektor i det komplexa talplanet, med längden lika med amplituden och vinkeln lika med fasen. Att lägga ihop vågor blir då vanlig vektoraddition, vilket ger resulterande amplitud och fas geometriskt.

---

1. Komplexa amplituder som vektorer

Varje våg bidrar med en komplex amplitud

$$A_1=a_1{e}^{i{\delta }_1}{A}_2=a_2{e}^{i{\delta }_2}$$

och resultatet är summan

$$A=A_1+A_2$$

Det är en vektoraddition, så den kan göras komposantvis:

$$A_x=a_1\cos {\delta }_1+a_2\cos {\delta }_2$$

$$A_y=a_1\sin {\delta }_1+a_2\sin {\delta }_2$$

Den resulterande amplituden är vektorns längd:

$$a=|A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}$$

Metoden generaliserar direkt till fler än två vågor — man lägger vektorerna ände mot ände.

---

2. Konstruktiv interferens uttryckt i gångvägsskillnad

Ligger de två vågorna i fas pekar vektorerna i samma riktning och längderna adderas rakt. Det inträffar när gångvägsskillnaden är en hel våglängd,

$$\Delta r=\lambda$$

två hela våglängder,

$$\Delta r=2\lambda$$

och så vidare. Villkoret är alltså

$$\boxed{\Delta r=p\lambda }p=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

---

3. Destruktiv interferens uttryckt i gångvägsskillnad

Är gångvägsskillnaden istället en halv våglängd pekar vektorerna åt motsatta håll:

$$\Delta r=\frac{\lambda }{2}$$

Samma sak gäller för

$$\Delta r=\frac{3\lambda }{2}\Delta r=\frac{5\lambda }{2}$$

alltså för varje udda multipel av en halv våglängd:

$$\boxed{\Delta r=(2p+1)\frac{\lambda }{2}}p=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

---

4. Från gångvägsskillnad till fasskillnad

De två villkoren ovan är samma sak som fasvillkoren, eftersom gångväg och fas hänger ihop via vågtalet:

$$\Delta \delta =k\Delta rk=\frac{2\pi }{\lambda }$$

Fysika: Fc1 (vågtalet $k=2\pi /\lambda$)

En hel våglängds gångvägsskillnad ger ett helt varvs fasskillnad,

$$\Delta \delta =p\cdot 2\pi$$

och en halv våglängd ger ett halvt varv:

$$\Delta \delta =(2p+1)\pi$$

---

5. Det generella uttrycket för fasskillnaden

Gångvägen är inte den enda källan till fasskillnad. Reflektion mot ett tätare medium lägger till $\pi$, och källorna kan ha olika faskonstant från början. Fullt utskrivet blir därför

$$\boxed{\Delta \delta =k\Delta r+m\pi +\Delta \alpha }$$

där $m$ räknar antalet fasskiftande reflektioner och $\Delta \alpha$ är källornas inbyggda fasskillnad. Villkoren

$$\Delta \delta =p\cdot 2\pi \Delta \delta =(2p+1)\pi$$

gäller fortfarande, men de ska nu tillämpas på hela $\Delta \delta$ och inte bara på $k\Delta r$. Det är den termen $m\pi$ som gör tunna skikt kontraintuitiva.

---

Erik Olsson: När man kopplar sina högtalare till en förstärkare behöver man göra det i fas. Det spelar inte roll om det är rött till rött, eller svart till svart. Så länge man kopplar samma så att de inte arbetar mot varandra.

---

6. Hur vi ritar diagrammet

Vinkeln mellan två vektorer i diagrammet är fasskillnaden, som räknas fram ur gångvägsskillnaden:

$$\Delta \delta =k\Delta r=\frac{2\pi }{\lambda }\Delta r$$

Den första vektorn får ligga längs den reella axeln — bara skillnaderna i fas spelar roll för beloppet. Sedan läggs nästa vektor i rätt vinkel mot den föregående, och svaret är den resulterande vektorns längd:

$$a=|A|$$

Vänster: mätpunkten $P$ ligger $\Delta r$ längre från $S_2$ än från $S_1$. Höger: därför vrids visaren från $S_2$ vinkeln $\Delta \delta =2\pi \Delta r/\lambda$ mot visaren från $S_1$, och resultantens längd är amplituden i $P$.

Exempel 1 — en fjärdedels våglängd

$$\Delta r=\frac{\lambda }{4}$$

$$\Delta {\delta }_{12}=k\Delta r=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\lambda }{4}=\frac{\pi }{2}$$

$$\frac{\pi }{2}=90^{\circ }$$

Vektorerna står vinkelrätt mot varandra. Är de lika långa blir resultanten hypotenusan i en likbent rätvinklig triangel:

$$|A|=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$$

Exempel 2 — en halv våglängd

$$\Delta r=\frac{\lambda }{2}$$

$$\Delta {\delta }_{12}=\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\lambda }{2}=\pi$$

Vektorerna pekar rakt mot varandra, och är de lika långa släcker de ut varandra helt:

$$A=0$$

Exempel 3 — tre vågor

Med tre källor läggs tre vektorer ände mot ände. En gångvägsskillnad på

$$\frac{\lambda }{8}$$

mellan intilliggande källor ger vinkeln

$$\Delta \delta =\frac{2\pi }{\lambda }\frac{\lambda }{8}=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$$

och på samma sätt ger

$$\frac{\lambda }{4}$$

en vinkel på $90^{\circ }$ mellan varje par.

Läsning

• 35.3 Intensity in Interference Patterns

Se även

• Vågor på komplex form
• Interferens
• Vektorer
• Multipelspalt
• Interferens i tunna skikt

Resurser

• Wikipedia: Phasor

---

← Interferens · F0005T · Svävning →