---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - vågrörelselära
  - metod
förkunskaper:
  - "[[Vågor på komplex form]]"
  - "[[Vektorer]]"
status: utkast
aliases:
  - Fasor
  - Visardiagram
  - Vektoraddition av amplituder
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Vågor på komplex form]], [[Vektorer]]

---

En komplex amplitud kan ritas som en vektor i det komplexa talplanet, med längden lika med amplituden och vinkeln lika med fasen. Att lägga ihop vågor blir då vanlig vektoraddition, vilket ger resulterande amplitud och fas geometriskt.

---

## 1. Komplexa amplituder som vektorer

Varje våg bidrar med en komplex amplitud

$$
A_1=a_1e^{i\delta_1}
\qquad
A_2=a_2e^{i\delta_2}
$$

och resultatet är summan

$$
A=A_1+A_2
$$

Det är en vektoraddition, så den kan göras komposantvis:

$$
A_x=a_1\cos\delta_1+a_2\cos\delta_2
$$

$$
A_y=a_1\sin\delta_1+a_2\sin\delta_2
$$

Den resulterande amplituden är vektorns längd:

$$
a=|A|=\sqrt{A_x^2+A_y^2}
$$

Metoden generaliserar direkt till fler än två vågor — man lägger vektorerna ände mot ände.

---

## 2. Konstruktiv interferens uttryckt i gångvägsskillnad

Ligger de två vågorna i fas pekar vektorerna i samma riktning och längderna adderas rakt. Det inträffar när gångvägsskillnaden är en hel våglängd,

$$
\Delta r=\lambda
$$

två hela våglängder,

$$
\Delta r=2\lambda
$$

och så vidare. Villkoret är alltså

$$
\boxed{\Delta r=p\lambda}
\qquad
p=0,\pm1,\pm2,\ldots
$$

---

## 3. Destruktiv interferens uttryckt i gångvägsskillnad

Är gångvägsskillnaden istället en halv våglängd pekar vektorerna åt motsatta håll:

$$
\Delta r=\frac{\lambda}{2}
$$

Samma sak gäller för

$$
\Delta r=\frac{3\lambda}{2}
\qquad
\Delta r=\frac{5\lambda}{2}
$$

alltså för varje udda multipel av en halv våglängd:

$$
\boxed{\Delta r=(2p+1)\frac{\lambda}{2}}
\qquad
p=0,\pm1,\pm2,\ldots
$$

---

## 4. Från gångvägsskillnad till fasskillnad

De två villkoren ovan är samma sak som fasvillkoren, eftersom gångväg och fas hänger ihop via vågtalet:

$$
\Delta\delta=k\Delta r
\qquad
k=\frac{2\pi}{\lambda}
$$
*Fysika: Fc1 (vågtalet $k=2\pi/\lambda$)*

En hel våglängds gångvägsskillnad ger ett helt varvs fasskillnad,

$$
\Delta\delta=p\cdot2\pi
$$

och en halv våglängd ger ett halvt varv:

$$
\Delta\delta=(2p+1)\pi
$$

---

## 5. Det generella uttrycket för fasskillnaden

Gångvägen är inte den enda källan till fasskillnad. Reflektion mot ett tätare medium lägger till $\pi$, och källorna kan ha olika faskonstant från början. Fullt utskrivet blir därför

$$
\boxed{\Delta\delta = k\Delta r+m\pi+\Delta\alpha}
$$

där $m$ räknar antalet fasskiftande reflektioner och $\Delta\alpha$ är källornas inbyggda fasskillnad. Villkoren

$$
\Delta\delta=p\cdot 2\pi
\qquad
\Delta\delta=(2p+1)\pi
$$

gäller fortfarande, men de ska nu tillämpas på hela $\Delta\delta$ och inte bara på $k\Delta r$. Det är den termen $m\pi$ som gör [[Interferens i tunna skikt|tunna skikt]] kontraintuitiva.

---

**Erik Olsson:** När man kopplar sina högtalare till en förstärkare behöver man göra det i fas. Det spelar inte roll om det är rött till rött, eller svart till svart. Så länge man kopplar samma så att de inte arbetar mot varandra. 

---

## 6. Hur vi ritar diagrammet

Vinkeln mellan två vektorer i diagrammet är fasskillnaden, som räknas fram ur gångvägsskillnaden:

$$
\Delta\delta=k\Delta r =\frac{2\pi}{\lambda}\Delta r
$$

Den första vektorn får ligga längs den reella axeln — bara *skillnaderna* i fas spelar roll för beloppet. Sedan läggs nästa vektor i rätt vinkel mot den föregående, och svaret är den resulterande vektorns längd:

$$
a=|A|
$$

![[f05-hogtalare-fasor.png|520]]

*Vänster: mätpunkten $P$ ligger $\Delta r$ längre från $S_2$ än från $S_1$. Höger: därför vrids visaren från $S_2$ vinkeln $\Delta\delta=2\pi\Delta r/\lambda$ mot visaren från $S_1$, och resultantens längd är amplituden i $P$.*

### Exempel 1 — en fjärdedels våglängd

$$
\Delta r=\frac{\lambda}{4}
$$

$$
\Delta\delta_{12} = k\Delta r =\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\lambda}{4}= \frac{\pi}{2}
$$

$$
\frac{\pi}{2}=90^\circ
$$

Vektorerna står vinkelrätt mot varandra. Är de lika långa blir resultanten hypotenusan i en likbent rätvinklig triangel:

$$
|A| = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2}a
$$

### Exempel 2 — en halv våglängd

$$
\Delta r=\frac{\lambda}{2}
$$

$$
\Delta\delta_{12} = \frac{2\pi}{\lambda}\frac{\lambda}{2} = \pi
$$

Vektorerna pekar rakt mot varandra, och är de lika långa släcker de ut varandra helt:

$$
A=0
$$

### Exempel 3 — tre vågor

Med tre källor läggs tre vektorer ände mot ände. En gångvägsskillnad på

$$
\frac{\lambda}{8}
$$

mellan intilliggande källor ger vinkeln

$$
\Delta\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\frac{\lambda}{8} = \frac{\pi}{4} = 45^\circ
$$

och på samma sätt ger

$$
\frac{\lambda}{4}
$$

en vinkel på $90^\circ$ mellan varje par.

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1196|35.3 Intensity in Interference Patterns]]

## Se även

- [[Vågor på komplex form]]
- [[Interferens]]
- [[Vektorer]]
- [[Multipelspalt]]
- [[Interferens i tunna skikt]]

## Resurser

- [Wikipedia: Phasor](https://en.wikipedia.org/wiki/Phasor)

---

← [[Interferens]] · [[F0005T]] · [[Svävning]] →