Interferens

Kurs: F0005T Förkunskaper: Superposition av vågor, Fas och faskonstant

---

När två vågor med samma frekvens möts avgör deras fasskillnad resultatet: i fas ger konstruktiv interferens och förstärkning, i motfas ger destruktiv interferens och utsläckning. Fasskillnaden följer i sin tur ur gångvägsskillnaden enligt $\Delta \delta =k\Delta r$.

---

1. Två vågor vid samma punkt

Två källor skickar vågor som når samma punkt efter att ha gått olika långt, $r_1$ respektive $r_2$:

$$y_1(t)=a_1\sin (k{r}_1-\omega t+{\alpha }_1)$$

$$y_2(t)=a_2\sin (k{r}_2-\omega t+{\alpha }_2)$$

Gångvägen och faskonstanten går alltid ihop till samma sak, så vi samlar dem i en fasterm per våg:

$${\delta }_1=k{r}_1+{\alpha }_1$$

$${\delta }_2=k{r}_2+{\alpha }_2$$

Vågorna blir då rena funktioner av tiden:

$$y_1(t)=a_1\sin (-\omega t+{\delta }_1)$$

$$y_2(t)=a_2\sin (-\omega t+{\delta }_2)$$

och enligt superpositionsprincipen är resultatet

$$y(t)=y_1(t)+y_2(t)$$

Fysika: Fc1a (superpositionsprincipen)

---

2. Använd komplex form

Summan är besvärlig trigonometriskt men enkel på komplex form:

$$y_1=A_1{e}^{-i\omega t}{y}_2=A_2{e}^{-i\omega t}$$

med de komplexa amplituderna

$$A_1=a_1{e}^{i{\delta }_1}{A}_2=a_2{e}^{i{\delta }_2}$$

Eftersom tidsfaktorn

$$e^{-i\omega t}$$

är gemensam kan den brytas ut:

$$y=A_1{e}^{-i\omega t}+A_2{e}^{-i\omega t}$$

$$y=(A_1+A_2)e^{-i\omega t}$$

Kvar står en enda addition:

$$\boxed{A=A_1+A_2}$$

---

3. Från amplitud till intensitet

Det vi mäter är inte amplituden utan intensiteten, och den går som kvadraten:

$$I\propto |A{|}^2$$

Sätt in summan

$$A=A_1+A_2$$

vilket ger

$$|A{|}^2=|A_1+A_2{|}^2$$

Lägg till bild på hur man tar real²+imagenär² för att få A²

$A_1$ och $A_2$ ände mot ände ger resultanten $A$. Real- och imaginärdelen är kateterna i en rätvinklig triangel, så $|A{|}^2=(\mathrm{Re}A{)}^2+(\mathrm{Im}A{)}^2$.

Skriv ut de två amplituderna i polär form,

$$A_1=a_1{e}^{i{\delta }_1}{A}_2=a_2{e}^{i{\delta }_2}$$

och utveckla kvadraten:

$$|A{|}^2=a_1^2+a_2^2+2a_1{a}_2\cos ({\delta }_1-{\delta }_2)$$

Fysika: Fc1a (i formen $a^2=a_1^2+a_2^2+2a_1{a}_2\cos \Delta \phi$)

Uttryckt i intensiteter blir det

$$\boxed{I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1{I}_2}\cos ({\delta }_1-{\delta }_2)}$$

Fysika: Fc4a (med $\Delta \phi$ för fasskillnaden)

Den sista termen är interferenstermen, och den beror bara på fasskillnaden

$$\Delta \delta ={\delta }_1-{\delta }_2$$

Utan den hade intensiteterna bara adderats.

---

4. Konstruktiv och destruktiv interferens

Interferenstermen styrs helt av cosinus, så ytterlägena inträffar när fasskillnaden är en hel eller en halv period. Full förstärkning fås vid

$$\Delta \delta =p\cdot 2\pi p=0,\pm 1,\pm 2,\dots$$

eftersom då

$$\cos (\Delta \delta )=1$$

Full utsläckning fås vid

$$\Delta \delta =(2p+1)\pi$$

då

$$\cos (\Delta \delta )=-1$$

Effekten är dramatisk när de två vågorna är lika starka:

$$I_1=I_2=I_0$$

Vid konstruktiv interferens blir intensiteten fyrdubblad, inte fördubblad,

$$I=I_0+I_0+2I_0=4I_0$$

och vid destruktiv interferens försvinner ljuset helt:

$$I=I_0+I_0-2I_0=0$$

Energin är inte borta — den har omfördelats till de punkter där interferensen är konstruktiv.

---

5. Gångvägsskillnad och våglängd

Villkoren ovan är skrivna i fas, men det som går att mäta upp i ett rum är avstånd. Sänder två källor ut ljud i fas är faskonstanterna lika, ${\alpha }_1={\alpha }_2$, och de faller bort ur fasskillnaden:

$$\Delta \delta ={\delta }_1-{\delta }_2=k(r_1-r_2)$$

Kvar står bara gångvägsskillnaden — skillnaden i sträcka från de två källorna fram till mätpunkten:

$$\Delta r=\left|r_1-r_2\right|$$

Beloppet räcker eftersom cosinus är jämn och interferenstermen därför inte bryr sig om tecknet. Med vågtalet $k=2\pi /\lambda$ blir kopplingen mellan sträcka och fas

$$\Delta \delta =\frac{2\pi }{\lambda }\Delta r$$

En hel våglängds gångvägsskillnad motsvarar alltså ett helt varvs fasskillnad. Villkoret $\Delta \delta =p\cdot 2\pi$ för konstruktiv interferens blir därmed

$$\boxed{\Delta r=p\lambda }p=0,1,2,\dots$$

och villkoret $\Delta \delta =(2p+1)\pi$ för destruktiv interferens blir

$$\boxed{\Delta r=\left(p+\frac{1}{2}\right)\lambda }$$

Våglängden fås i sin tur ur ljudhastigheten och frekvensen:

$$\lambda =\frac{v}{f}$$

Fysika: Fc1 (i formen $v=f\cdot \lambda$)

---

6. Beteckningar och enheter

Noten drar in storheter från både vågbeskrivningen och intensitetsräkningen, och de är lätta att blanda ihop. Tabellen samlar dem i den ordning de dyker upp ovan.

Beteckning	Storhet	Enhet
$y,y_1,y_2$	Utslag — vågens momentana förskjutning	$\mathrm{m}$
$a_1,a_2$	Amplitud — utslagets maxvärde	$\mathrm{m}$
$A,A_1,A_2$	Komplex amplitud — amplitud och fas i ett tal	$\mathrm{m}$
$t$	Tid	$\mathrm{s}$
$\omega$	Vinkelfrekvens	$rad/s$
$f$	Frekvens	$\mathrm{Hz}={\mathrm{s}}^{-1}$
$\lambda$	Våglängd	$\mathrm{m}$
$k=2\pi /\lambda$	Vågtal — fasändring per längdenhet	$rad/m$
$v$	Våghastighet (här ljudhastigheten)	$m/s$
$r_1,r_2$	Gångväg — sträcka från källa till mätpunkt	$\mathrm{m}$
$\Delta r$	Gångvägsskillnad	$\mathrm{m}$
${\alpha }_1,{\alpha }_2$	Faskonstant — källans fas vid $t=0$	$\mathrm{rad}$
${\delta }_1,{\delta }_2$	Fas i mätpunkten, $\delta =kr+\alpha$	$\mathrm{rad}$
$\Delta \delta$	Fasskillnad mellan vågorna	$\mathrm{rad}$
$I,I_1,I_2$	Intensitet — effekt per area	$W/{\mathrm{m}}^2$
$I_0$	Intensiteten från en ensam källa	$W/{\mathrm{m}}^2$
$p$	Ordningstal — hur många hela våglängder $\Delta r$ motsvarar	dimensionslöst heltal

Utslag, amplitud och komplex amplitud delar alltid enhet: meter för en mekanisk våg, men en annan enhet för andra vågtyper. Radianen är dimensionslös, så $k\Delta r$ blir korrekt en ren fasvinkel.

Räkneexemplen lägger till tre rent geometriska beteckningar:

Beteckning	Storhet	Enhet
$L$	Avstånd mellan högtalarna	$\mathrm{m}$
$x$	Mikrofonens läge längs axeln från $A$	$\mathrm{m}$
$r_A,r_B$	Avstånd från mikrofonen till respektive högtalare	$\mathrm{m}$

---

7. Räkneexempel

Exempel 1 — Hur långt ska mikrofonen föras?

Två högtalare $A$ och $B$ sänder ut ljud i fas vid frekvensen $f=938$ Hz. Avståndet mellan högtalarna är $L=2,06$ m. Hur långt ska en mikrofon föras från högtalare $A$ längs $x$-axeln för att registrera interferensmax 4 gånger? Ljudets hastighet är $v=340$ m/s, och svaret ska anges i meter.

Lösning

Steg 1: våglängden.

$$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{340}{938}=0,3625\text{m}$$

Steg 2: gångvägsskillnaden som funktion av $x$.

Mikrofonen står i punkten $x$ på axeln genom $A$, och sträckan $AB$ är vinkelrät mot den axeln. Avståndet till $A$ är alltså $x$ självt, medan avståndet till $B$ ges av Pythagoras sats:

$$r_A=x{r}_B=\sqrt{x^2+L^2}$$

$$\Delta r=r_B-r_A=\sqrt{x^2+L^2}-x$$

Steg 3: vilket ordningstal $p$ hör till det fjärde maximet?

Vid $x=0$, alltså intill högtalare $A$, är gångvägsskillnaden hela avståndet mellan högtalarna:

$$\Delta r(0)=L=2,06\text{m}⟹\frac{L}{\lambda }=\frac{2,06}{0,3625}=5,68$$

När mikrofonen förs bort blir de båda avstånden mer och mer lika, så $\Delta r$ avtar strängt från $L$ mot noll. Varje heltalsmultipel $p\lambda$ som ryms under $L$ passeras därför exakt en gång, och de kommer i fallande ordning:

$$p=5,4,3,2,1$$

Det fjärde maximet mikrofonen registrerar svarar alltså mot $p=2$.

Steg 4: lös ut $x$ ur maximivillkoret.

$$\sqrt{x^2+L^2}-x=p\lambda$$

Flytta över $x$ och kvadrera:

$$x^2+L^2=x^2+2p\lambda x+p^2{\lambda }^2$$

Termerna $x^2$ tar ut varandra, vilket gör ekvationen linjär i $x$:

$$x=\frac{L^2-p^2{\lambda }^2}{2p\lambda }$$

Steg 5: sätt in siffrorna med $p=2$.

$$p\lambda =2\cdot 0,3625=0,7249\text{m}$$

$$x=\frac{2,06^2-0,7249^2}{2\cdot 0,7249}=\frac{4,2436-0,5255}{1,4499}=2,564$$

$$\boxed{x\approx 2,56\text{m}}$$

Rimlighetskoll. Sätt tillbaka svaret i gångvägsskillnaden:

$$\sqrt{2,564^2+2,06^2}-2,564=3,289-2,564=0,725\text{m}=2\lambda ✓$$

Läget ligger dessutom mellan det tredje maximet ($p=3$, $x=1,41$ m) och det femte ($p=1$, $x=5,67$ m), precis som ordningen i steg 3 kräver.

En bild som hjälpte mig förså:

Exempel 2 — Hur många max finns det?

Två högtalare $A$ och $B$ sänder ut ljud i fas vid frekvensen $f=736$ Hz. Avståndet mellan högtalarna är $L=3,51$ m. Hur många interferensmax kan en mikrofon registrera då den förs från högtalare $A$ längs $x$-axeln? Ljudhastigheten är $v=340$ m/s, och mikrofonen kan inte föras oändligt långt bort.

Lösning

Steg 1: våglängden.

$$\lambda =\frac{v}{f}=\frac{340}{736}=0,4620\text{m}$$

Steg 2: samma geometri som i exempel 1.

$$\Delta r=\sqrt{x^2+L^2}-x$$

Funktionen avtar strängt från $\Delta r(0)=L$ och går mot noll när $x$ växer. Den genomlöper alltså intervallet $0<\Delta r\le L$ och antar varje värde där exakt en gång.

Steg 3: räkna ordningstalen.

Ett max kräver $\Delta r=p\lambda$, och ett sådant $p$ ger en lösning om och endast om $p\lambda$ ligger i intervallet ovan:

$$0<p\lambda \le L⟺p\le \frac{L}{\lambda }=\frac{3,51}{0,4620}=7,60$$

Största tillåtna heltalet är $p=7$, så ordningstalen $p=1,2,\dots ,7$ ger var sitt max:

$$\boxed{7\text{interferensmax}}$$

Steg 4: varför $p=0$ inte räknas.

Nollte ordningens max kräver $\Delta r=0$, alltså $r_A=r_B$. Det inträffar först i gränsen $x\to \infty$, och eftersom mikrofonen inte kan föras oändligt långt bort registreras det aldrig.

Kurvan visar $\Delta r/\lambda$: varje gång den passerar ett heltal registrerar mikrofonen ett max. Den startar på $7,60$ och kryper mot noll utan att nå dit, vilket är hela argumentet i steg 3 i bildform. Lägg också märke till att maximumen ligger tätt nära högtalaren och glesnar snabbt — det sista, $p=1$, ligger så långt ut som $13,1$ m.

$p$	7	6	5	4	3	2	1
$x$ [m]	0,288	0,837	1,512	2,410	3,752	6,205	13,10

Läsning

• 16.6 Interference of Waves
• 35.1 Interference and Coherent Sources

Se även

• Superposition av vågor
• Vågor på komplex form
• Fasordiagram
• Våglängd och vågtal
• Dubbelspaltexperimentet
• Visibilitet

Resurser

• Wikipedia: Wave interference

---

← Vågor på komplex form · F0005T · Fasordiagram →