---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - vågrörelselära
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Superposition av vågor]]"
  - "[[Fas och faskonstant]]"
status: utkast
aliases:
  - Konstruktiv interferens
  - Destruktiv interferens
  - Gångvägsskillnad
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Superposition av vågor]], [[Fas och faskonstant]]

---

När två vågor med samma frekvens möts avgör deras fasskillnad resultatet: i fas ger konstruktiv interferens och förstärkning, i motfas ger destruktiv interferens och utsläckning. Fasskillnaden följer i sin tur ur gångvägsskillnaden enligt $\Delta\delta=k\,\Delta r$.

---

## 1. Två vågor vid samma punkt

Två källor skickar vågor som når samma punkt efter att ha gått olika långt, $r_1$ respektive $r_2$:

$$
y_1(t)=a_1\sin(kr_1-\omega t+\alpha_1)
$$

$$
y_2(t)=a_2\sin(kr_2-\omega t+\alpha_2)
$$

Gångvägen och faskonstanten går alltid ihop till samma sak, så vi samlar dem i en fasterm per våg:

$$
\delta_1=kr_1+\alpha_1
$$

$$
\delta_2=kr_2+\alpha_2
$$

Vågorna blir då rena funktioner av tiden:

$$
y_1(t)=a_1\sin(-\omega t+\delta_1)
$$

$$
y_2(t)=a_2\sin(-\omega t+\delta_2)
$$

och enligt [[Superposition av vågor|superpositionsprincipen]] är resultatet

$$
y(t)=y_1(t)+y_2(t)
$$
*Fysika: Fc1a (superpositionsprincipen)*

---

## 2. Använd komplex form

Summan är besvärlig trigonometriskt men enkel på [[Vågor på komplex form|komplex form]]:

$$
y_1=A_1e^{-i\omega t}
\qquad
y_2=A_2e^{-i\omega t}
$$

med de komplexa amplituderna

$$
A_1=a_1e^{i\delta_1}
\qquad
A_2=a_2e^{i\delta_2}
$$

Eftersom tidsfaktorn

$$
e^{-i\omega t}
$$

är gemensam kan den brytas ut:

$$
y = A_1e^{-i\omega t}+A_2e^{-i\omega t}
$$

$$
y=(A_1+A_2)e^{-i\omega t}
$$

Kvar står en enda addition:

$$
\boxed{A=A_1+A_2}
$$

---

## 3. Från amplitud till intensitet

Det vi mäter är inte amplituden utan intensiteten, och den går som kvadraten:

$$
I\propto |A|^2
$$

Sätt in summan

$$
A=A_1+A_2
$$

vilket ger

$$
|A|^2 = |A_1+A_2|^2
$$

<font color="#c0504d">Lägg till bild på hur man tar real²+imagenär² för att få A²</font>

![[f05-interferens-re-im.png|520]]

*$A_1$ och $A_2$ ände mot ände ger resultanten $A$. Real- och imaginärdelen är kateterna i en rätvinklig triangel, så $|A|^2=(\operatorname{Re}A)^2+(\operatorname{Im}A)^2$.*

Skriv ut de två amplituderna i polär form,

$$
A_1=a_1e^{i\delta_1}
\qquad
A_2=a_2e^{i\delta_2}
$$

och utveckla kvadraten:

$$
|A|^2 = a_1^2+a_2^2+2a_1a_2\cos(\delta_1-\delta_2)
$$
*Fysika: Fc1a (i formen $a^2=a_1^2+a_2^2+2a_1a_2\cos\Delta\varphi$)*

Uttryckt i intensiteter blir det

$$
\boxed{I = I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos(\delta_1-\delta_2)}
$$
*Fysika: Fc4a (med $\Delta\varphi$ för fasskillnaden)*

Den sista termen är **interferenstermen**, och den beror bara på fasskillnaden

$$
\Delta\delta=\delta_1-\delta_2
$$

Utan den hade intensiteterna bara adderats.

---

## 4. Konstruktiv och destruktiv interferens

Interferenstermen styrs helt av cosinus, så ytterlägena inträffar när fasskillnaden är en hel eller en halv period. Full förstärkning fås vid

$$
\Delta\delta=p\cdot 2\pi
\qquad
p=0, \pm1, \pm2, \ldots
$$

eftersom då

$$
\cos(\Delta\delta)=1
$$

Full utsläckning fås vid

$$
\Delta\delta=(2p+1)\pi
$$

då

$$
\cos(\Delta\delta)=-1
$$

Effekten är dramatisk när de två vågorna är lika starka:

$$
I_1=I_2=I_0
$$

Vid konstruktiv interferens blir intensiteten fyrdubblad, inte fördubblad,

$$
I = I_0+I_0+2I_0 = 4I_0
$$

och vid destruktiv interferens försvinner ljuset helt:

$$
I = I_0+I_0-2I_0 = 0
$$

Energin är inte borta — den har omfördelats till de punkter där interferensen är konstruktiv.
![[Pasted image 20260917115519.png]]

---

## 5. Gångvägsskillnad och våglängd

Villkoren ovan är skrivna i fas, men det som går att mäta upp i ett rum är avstånd. Sänder två källor ut ljud **i fas** är faskonstanterna lika, $\alpha_1=\alpha_2$, och de faller bort ur fasskillnaden:

$$
\Delta\delta=\delta_1-\delta_2=k(r_1-r_2)
$$

Kvar står bara **gångvägsskillnaden** — skillnaden i sträcka från de två källorna fram till mätpunkten:

$$
\Delta r=\left|r_1-r_2\right|
$$

Beloppet räcker eftersom cosinus är jämn och interferenstermen därför inte bryr sig om tecknet. Med [[Våglängd och vågtal|vågtalet]] $k=2\pi/\lambda$ blir kopplingen mellan sträcka och fas

$$
\Delta\delta=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r
$$

En hel våglängds gångvägsskillnad motsvarar alltså ett helt varvs fasskillnad. Villkoret $\Delta\delta=p\cdot 2\pi$ för konstruktiv interferens blir därmed

$$
\boxed{\Delta r=p\lambda}
\qquad
p=0,1,2,\ldots
$$

och villkoret $\Delta\delta=(2p+1)\pi$ för destruktiv interferens blir

$$
\boxed{\Delta r=\left(p+\dfrac{1}{2}\right)\lambda}
$$

Våglängden fås i sin tur ur [[Ljudets hastighet|ljudhastigheten]] och frekvensen:

$$
\lambda=\dfrac{v}{f}
$$
*Fysika: Fc1 (i formen $v=f\cdot\lambda$)*

---

## 6. Beteckningar och enheter

Noten drar in storheter från både vågbeskrivningen och intensitetsräkningen, och de är lätta att blanda ihop. Tabellen samlar dem i den ordning de dyker upp ovan.

| Beteckning | Storhet | Enhet |
|---|---|---|
| $y,\;y_1,\;y_2$ | Utslag — vågens momentana förskjutning | $\mathrm{m}$ |
| $a_1,\;a_2$ | Amplitud — utslagets maxvärde | $\mathrm{m}$ |
| $A,\;A_1,\;A_2$ | Komplex amplitud — amplitud och fas i ett tal | $\mathrm{m}$ |
| $t$ | Tid | $\mathrm{s}$ |
| $\omega$ | Vinkelfrekvens | $\mathrm{rad/s}$ |
| $f$ | Frekvens | $\mathrm{Hz}=\mathrm{s^{-1}}$ |
| $\lambda$ | Våglängd | $\mathrm{m}$ |
| $k=2\pi/\lambda$ | Vågtal — fasändring per längdenhet | $\mathrm{rad/m}$ |
| $v$ | Våghastighet (här ljudhastigheten) | $\mathrm{m/s}$ |
| $r_1,\;r_2$ | Gångväg — sträcka från källa till mätpunkt | $\mathrm{m}$ |
| $\Delta r$ | Gångvägsskillnad | $\mathrm{m}$ |
| $\alpha_1,\;\alpha_2$ | Faskonstant — källans fas vid $t=0$ | $\mathrm{rad}$ |
| $\delta_1,\;\delta_2$ | Fas i mätpunkten, $\delta=kr+\alpha$ | $\mathrm{rad}$ |
| $\Delta\delta$ | Fasskillnad mellan vågorna | $\mathrm{rad}$ |
| $I,\;I_1,\;I_2$ | Intensitet — effekt per area | $\mathrm{W/m^2}$ |
| $I_0$ | Intensiteten från en ensam källa | $\mathrm{W/m^2}$ |
| $p$ | Ordningstal — hur många hela våglängder $\Delta r$ motsvarar | dimensionslöst heltal |

Utslag, amplitud och komplex amplitud delar alltid enhet: meter för en mekanisk våg, men en annan enhet för andra vågtyper. Radianen är dimensionslös, så $k\,\Delta r$ blir korrekt en ren fasvinkel.

Räkneexemplen lägger till tre rent geometriska beteckningar:

| Beteckning | Storhet | Enhet |
|---|---|---|
| $L$ | Avstånd mellan högtalarna | $\mathrm{m}$ |
| $x$ | Mikrofonens läge längs axeln från $A$ | $\mathrm{m}$ |
| $r_A,\;r_B$ | Avstånd från mikrofonen till respektive högtalare | $\mathrm{m}$ |

---

## 7. Räkneexempel

> [!example]- Exempel 1 — Hur långt ska mikrofonen föras?
> Två högtalare $A$ och $B$ sänder ut ljud i fas vid frekvensen $f=938$ Hz. Avståndet mellan högtalarna är $L=2{,}06$ m. Hur långt ska en mikrofon föras från högtalare $A$ längs $x$-axeln för att registrera interferensmax **4 gånger**? Ljudets hastighet är $v=340$ m/s, och svaret ska anges i meter.
>
> ![[interferens-hogtalare-geometri.png|460]]
>
> > [!note]- Lösning
> > **Steg 1: våglängden.**
> >
> > $$
> > \lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{938}=0{,}3625\ \text{m}
> > $$
> >
> > **Steg 2: gångvägsskillnaden som funktion av $x$.**
> >
> > Mikrofonen står i punkten $x$ på axeln genom $A$, och sträckan $AB$ är vinkelrät mot den axeln. Avståndet till $A$ är alltså $x$ självt, medan avståndet till $B$ ges av Pythagoras sats:
> >
> > $$
> > r_A=x
> > \qquad
> > r_B=\sqrt{x^2+L^2}
> > $$
> >
> > $$
> > \Delta r=r_B-r_A=\sqrt{x^2+L^2}-x
> > $$
> >
> > **Steg 3: vilket ordningstal $p$ hör till det fjärde maximet?**
> >
> > Vid $x=0$, alltså intill högtalare $A$, är gångvägsskillnaden hela avståndet mellan högtalarna:
> >
> > $$
> > \Delta r(0)=L=2{,}06\ \text{m}
> > \qquad\Longrightarrow\qquad
> > \dfrac{L}{\lambda}=\dfrac{2{,}06}{0{,}3625}=5{,}68
> > $$
> >
> > När mikrofonen förs bort blir de båda avstånden mer och mer lika, så $\Delta r$ avtar strängt från $L$ mot noll. Varje heltalsmultipel $p\lambda$ som ryms under $L$ passeras därför exakt en gång, och de kommer i fallande ordning:
> >
> > $$
> > p=5,\;4,\;3,\;2,\;1
> > $$
> >
> > Det fjärde maximet mikrofonen registrerar svarar alltså mot $p=2$.
> >
> > **Steg 4: lös ut $x$ ur maximivillkoret.**
> >
> > $$
> > \sqrt{x^2+L^2}-x=p\lambda
> > $$
> >
> > Flytta över $x$ och kvadrera:
> >
> > $$
> > x^2+L^2=x^2+2p\lambda x+p^2\lambda^2
> > $$
> >
> > Termerna $x^2$ tar ut varandra, vilket gör ekvationen linjär i $x$:
> >
> > $$
> > x=\dfrac{L^2-p^2\lambda^2}{2p\lambda}
> > $$
> >
> > **Steg 5: sätt in siffrorna med $p=2$.**
> >
> > $$
> > p\lambda=2\cdot 0{,}3625=0{,}7249\ \text{m}
> > $$
> >
> > $$
> > x=\dfrac{2{,}06^2-0{,}7249^2}{2\cdot 0{,}7249}=\dfrac{4{,}2436-0{,}5255}{1{,}4499}=2{,}564
> > $$
> >
> > $$
> > \boxed{\;x\approx 2{,}56\ \text{m}\;}
> > $$
> >
> > **Rimlighetskoll.** Sätt tillbaka svaret i gångvägsskillnaden:
> >
> > $$
> > \sqrt{2{,}564^2+2{,}06^2}-2{,}564=3{,}289-2{,}564=0{,}725\ \text{m}=2\lambda \qquad\checkmark
> > $$
> >
> > Läget ligger dessutom mellan det tredje maximet ($p=3$, $x=1{,}41$ m) och det femte ($p=1$, $x=5{,}67$ m), precis som ordningen i steg 3 kräver.
> > 
> > En bild som hjälpte mig förså:
> > ![[Pasted image 20260918113723.png]]
> > 

> [!example]- Exempel 2 — Hur många max finns det?
> Två högtalare $A$ och $B$ sänder ut ljud i fas vid frekvensen $f=736$ Hz. Avståndet mellan högtalarna är $L=3{,}51$ m. Hur många interferensmax kan en mikrofon registrera då den förs från högtalare $A$ längs $x$-axeln? Ljudhastigheten är $v=340$ m/s, och mikrofonen kan inte föras oändligt långt bort.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Steg 1: våglängden.**
> >
> > $$
> > \lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{340}{736}=0{,}4620\ \text{m}
> > $$
> >
> > **Steg 2: samma geometri som i exempel 1.**
> >
> > $$
> > \Delta r=\sqrt{x^2+L^2}-x
> > $$
> >
> > Funktionen avtar strängt från $\Delta r(0)=L$ och går mot noll när $x$ växer. Den genomlöper alltså intervallet $0<\Delta r\le L$ och antar varje värde där exakt en gång.
> >
> > **Steg 3: räkna ordningstalen.**
> >
> > Ett max kräver $\Delta r=p\lambda$, och ett sådant $p$ ger en lösning om och endast om $p\lambda$ ligger i intervallet ovan:
> >
> > $$
> > 0<p\lambda\le L
> > \qquad\Longleftrightarrow\qquad
> > p\le\dfrac{L}{\lambda}=\dfrac{3{,}51}{0{,}4620}=7{,}60
> > $$
> >
> > Största tillåtna heltalet är $p=7$, så ordningstalen $p=1,2,\ldots,7$ ger var sitt max:
> >
> > $$
> > \boxed{\;7\ \text{interferensmax}\;}
> > $$
> >
> > **Steg 4: varför $p=0$ inte räknas.**
> >
> > Nollte ordningens max kräver $\Delta r=0$, alltså $r_A=r_B$. Det inträffar först i gränsen $x\to\infty$, och eftersom mikrofonen inte kan föras oändligt långt bort registreras det aldrig.
> >
> > ![[interferens-gangvagsskillnad.png|560]]
> >
> > Kurvan visar $\Delta r/\lambda$: varje gång den passerar ett heltal registrerar mikrofonen ett max. Den startar på $7{,}60$ och kryper mot noll utan att nå dit, vilket är hela argumentet i steg 3 i bildform. Lägg också märke till att maximumen ligger tätt nära högtalaren och glesnar snabbt — det sista, $p=1$, ligger så långt ut som $13{,}1$ m.
> >
> > | $p$ | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
> > |---|---|---|---|---|---|---|---|
> > | $x$ [m] | 0,288 | 0,837 | 1,512 | 2,410 | 3,752 | 6,205 | 13,10 |

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=550|16.6 Interference of Waves]]
- [[z.University Physics.pdf#page=1189|35.1 Interference and Coherent Sources]]

## Se även

- [[Superposition av vågor]]
- [[Vågor på komplex form]]
- [[Fasordiagram]]
- [[Våglängd och vågtal]]
- [[Dubbelspaltexperimentet]]
- [[Visibilitet]]

## Resurser

- [Wikipedia: Wave interference](https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_interference)

---

← [[Vågor på komplex form]] · [[F0005T]] · [[Fasordiagram]] →