---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - optik
  - modell
förkunskaper:
  - "[[Diffraktion]]"
  - "[[Interferens]]"
status: utkast
aliases:
  - Fjärrfältsdiffraktion
  - Enkelspalt
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Diffraktion]], [[Interferens]]

---

Fraunhoferdiffraktion är diffraktion i fjärrfältet, där infallande och utgående strålar kan behandlas som parallella. Den ger intensitetsfördelningen bakom en enkelspalt, och mönstret breddas när spalten görs smalare eller våglängden ökar.

---

## 1. Fjärrfältsvillkoret

En spalt med bredden $a$ belyses och mönstret betraktas på avståndet $r$. Fraunhoferfallet innebär att $r$ i meterskala är mycket större än $a$ under millimeterskala, vilket gör att alla strålar fram till en given punkt kan räknas som parallella och att vinkeln $\theta$ blir densamma för dem alla.

---

## 2. Spalten som $N$ punktkällor

Vi delar upp spalten i $N$ punktformiga sändare med avståndet $d$ mellan grannarna, så att

$$
a=(N-1)d
$$

Fasskillnaden mellan *randstrålarna* — strålarna från spaltens två kanter — blir då summan av alla $N-1$ stegen, och den ges ett eget namn:

$$
\beta=(N-1)\delta=(N-1)kd\sin\theta=ka\sin\theta
$$

Med $\delta=\beta/(N-1)$ kan vi nu sätta in i uttrycket för intensiteten från $N$ [[Multipelspalt|ekvidistanta källor]] och få hela spaltens bidrag uttryckt i den enda variabeln $\beta$:

$$
I_P=I\,\dfrac{\sin^2\!\left(\dfrac{N\beta}{2(N-1)}\right)}{\sin^2\!\left(\dfrac{\beta}{2(N-1)}\right)}
$$

---

## 3. Gränsen $N\to\infty$

Spalten är inte en rad diskreta sändare utan ett kontinuum, så vi låter antalet källor växa medan bredden $a$ hålls konstant. Då blir $N-1=N$, och för stora $N$ är nämnarens argument så litet att $\sin(\beta/2N)\approx\beta/2N$:

$$
I_P=I\,\dfrac{\sin^2\!\left(\beta/2\right)}{\left(\beta/2N\right)^2}=N^2I\,\dfrac{\sin^2\!\left(\beta/2\right)}{\left(\beta/2\right)^2}
$$

Rakt fram är $\theta=0$ och därmed $\beta=0$, vilket ger $I_P=N^2I$. Den produkten är intensiteten rakt fram från spalten och skrivs $I_0$, så fördelningen blir

$$
\boxed{I_P=I_0\,\dfrac{\sin^2\!\left(\beta/2\right)}{\left(\beta/2\right)^2}}
\qquad
\beta=nka\sin\theta=\dfrac{2\pi}{\lambda}\,na\sin\theta
$$
*Fysika: Fc5 (enkelspalt, med $b$ för spaltbredden $a$)*

---

## 4. Huvudmaximum och minima

Till skillnad från multipelspalten ger formeln **ett enda** huvudmaximum, nämligen där $\beta/2=0$, alltså rakt fram vid $\theta=0$.

Minimum får vi där täljaren är noll utan att nämnaren är det, alltså $\sin(\beta/2)=0$ men $\beta/2\neq 0$:

$$
\boxed{na\sin\theta=m\lambda}
\qquad
m=\pm 1,\pm 2,\ldots
$$
*Fysika: Fc5 (i formen $b\sin\theta=m\lambda$)*

Att $m=0$ är undantaget är hela poängen — där ligger centralmaximum, inte ett minimum.

![[f05-enkelspalt-minimum.png|520]]

*Spalten delad i åtta källor vid första minimum, $a\sin\theta=\lambda$: källan mitt i spalten har $\lambda/2$ längre väg än källan i överkanten, och så vidare parvis nedåt — varje par släcker varandra.*

---

## 5. Mönstrets bredd

Centralmaximum sträcker sig ut till det första minimumet på ömse sidor, alltså till

$$
\sin\theta=\dfrac{\lambda}{na}
$$

Vinkeln växer när $a$ minskar eller $\lambda$ ökar: en smalare spalt ger ett *bredare* mönster. Centralbilden blir dessutom dubbelt så bred som avståndet mellan två efterföljande minima, eftersom den sträcker sig från $m=-1$ till $m=+1$.

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1215|36.1 Fresnel and Fraunhofer Diffraction]]
- [[z.University Physics.pdf#page=1220|36.3 Intensity in the Single-Slit Pattern]]
- Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 3.2 *Fraunhofer diffraktion*

## Se även

- [[Diffraktion]]
- [[Multipelspalt]]
- [[Dubbelspaltexperimentet]]
- [[Interferens]]
- [[Huygens princip]]
- [[Våglängd och vågtal]]

## Resurser

- [Wikipedia: Fraunhofer diffraction](https://en.wikipedia.org/wiki/Fraunhofer_diffraction)

---

← [[Dubbelspaltexperimentet]] · [[F0005T]] · [[Multipelspalt]] →