Fresnels formler

Kurs: F0005T Förkunskaper: Polarisation, Snells lag

Fresnels formler ger förhållandet mellan infallande, reflekterad och transmitterad våg vid en gränsyta, som funktion av infallsvinkeln och brytningsindexen. De behandlar de två polarisationsriktningarna relativt infallsplanet var för sig, eftersom dessa reflekteras olika mycket.

1. Infallsplanet och de två komposanterna

Infallsplanet är det plan som innehåller den infallande strålen och normalen till ytan. Relativt det planet delas ljusvektorn upp i två komposanter:

E_{i p} ∥ infallsplanet E_{i s} ⊥ infallsplanet

Uppdelningen är nödvändig därför att de två komposanterna reflekteras enligt var sin formel — det är hela anledningen till att reflektion polariserar ljus.

Infallsplanet är papperets plan: $E_{p}$ svänger i planet (pilar vinkelrätt mot strålen) och $E_{s}$ vinkelrätt mot det (⊙). Den reflekterade strålen har kortare $p$ -pilar eftersom $R_{p} < R_{s}$ .

2. Formlerna

Med infallsvinkeln $θ_{i}$ och brytningsvinkeln $θ_{b}$ ger Maxwells ekvationer de reflekterade amplituderna

E_{r p} = E_{i p} \cdot \frac{tan ( θ _{i} - θ _{b} )}{tan ( θ _{i} + θ _{b} )} E_{rs} = - E_{i s} \cdot \frac{sin ( θ _{i} - θ _{b} )}{sin ( θ _{i} + θ _{b} )}

Vinklarna är inte fria från varandra utan kopplade av brytningslagen:

n_{1} sin θ_{i} = n_{2} sin θ_{b}

Fysika: Fc6a

3. Reflektanserna

Kvadrering ger intensiteterna, och kvoten mellan reflekterad och infallande intensitet för respektive komposant kallas reflektansen:

R_{p} = \frac{I _{r p}}{I _{i p}} = \frac{tan ^{2} ( θ _{i} - θ _{b} )}{tan ^{2} ( θ _{i} + θ _{b} )} R_{s} = \frac{I _{rs}}{I _{i s}} = \frac{sin ^{2} ( θ _{i} - θ _{b} )}{sin ^{2} ( θ _{i} + θ _{b} )}

Fysika: Fc3 (Fresnels formler, i formen $R_{∥} = tan^{2} (i - b) / tan^{2} (i + b)$ och $R_{⊥} = sin^{2} (i - b) / sin^{2} (i + b)$ )

Är det infallande ljuset opolariserat med intensiteten $I_{0}$ fördelar det sig jämnt mellan komposanterna,

I_{i p} = I_{i s} = \frac{I _{0}}{2}

och den totalt reflekterade intensiteten blir $I_{r} = I_{r p} + I_{rs}$ .

Plottar vi reflektanserna mot infallsvinkeln syns skillnaden mellan komposanterna direkt: $R_{s}$ växer monotont, medan $R_{p}$ först dyker ned till noll och sedan stiger. Vid vinkelrätt infall sammanfaller de, och vid strykande infall går båda mot $1$ .

Nollstället hos $R_{p}$ är Brewsters vinkel.

4. Specialfall: små vinklar

Är infallsvinkeln liten blir även brytningsvinkeln liten, och serieutveckling ger approximationer av typen $sin (θ_{i} - θ_{b}) \approx θ_{i} - θ_{b}$ . Formlerna blir då

E_{r p} = E_{i p} \cdot \frac{θ _{i} - θ _{b}}{θ _{i} + θ _{b}} E_{rs} = - E_{i s} \cdot \frac{θ _{i} - θ _{b}}{θ _{i} + θ _{b}}

Med brytningslagen i samma approximation, $n_{1} θ_{i} = n_{2} θ_{b}$ , faller vinklarna bort helt:

E_{r p} = E_{i p} \cdot \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} + n _{1}} E_{rs} = - E_{i s} \cdot \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} + n _{1}}

Eftersom båda komposanterna nu reflekteras lika mycket gäller $I_{r p} = I_{rs}$ , och reflektansen beror bara på brytningsindexen:

R = \frac{I _{r}}{I _{i}} = \frac{( n _{2} - n _{1} ) ^{2}}{( n _{2} + n _{1} ) ^{2}}

Fysika: Fc3 (vinkelrätt infall)

5. Fassprånget vid reflektion

Tecknet i formlerna bär fysik. Om $n_{1} < n_{2}$ är

\frac{E _{rs}}{E _{i s}} = - \frac{n _{2} - n _{1}}{n _{2} + n _{1}} < 0

och den negativa kvoten betyder att den reflekterade vågen fasförskjuts $π$ radianer, vilket motsvarar en vägskillnad på en halv våglängd. Samma sak gäller den parallella komposanten, eftersom de positiva riktningarna för $E_{i p}$ och $E_{r p}$ är motriktade.

Vid reflektion mot ett optiskt tunnare medium, $n_{1} > n_{2}$ , blir kvoten positiv och något fassprång uppstår inte. Skillnaden är avgörande för interferens i tunna skikt.

Läsning

33.5 Polarization — Polarization by Reflection
Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 2.2 Reflektion av ljus

Se även

Resurser

Wikipedia: Fresnel equations

← Malus lag · F0005T · Brewsters vinkel →

Pelles Moln

Utforskare