---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - optik
  - samband
förkunskaper:
  - "[[Polarisation]]"
  - "[[Snells lag]]"
status: utkast
aliases:
  - Fresnelekvationerna
  - Infallsplan
  - Reflektans
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Polarisation]], [[Snells lag]]

---

Fresnels formler ger förhållandet mellan infallande, reflekterad och transmitterad våg vid en gränsyta, som funktion av infallsvinkeln och brytningsindexen. De behandlar de två polarisationsriktningarna relativt infallsplanet var för sig, eftersom dessa reflekteras olika mycket.

---

## 1. Infallsplanet och de två komposanterna

Infallsplanet är det plan som innehåller den infallande strålen och normalen till ytan. Relativt det planet delas ljusvektorn upp i två komposanter:

$$
E_{ip}\ \parallel\ \text{infallsplanet}
\qquad
E_{is}\ \perp\ \text{infallsplanet}
$$

Uppdelningen är nödvändig därför att de två komposanterna reflekteras enligt var sin formel — det är hela anledningen till att reflektion polariserar ljus.

![[f05-fresnel-infallsplan.png|520]]

*Infallsplanet är papperets plan: $E_p$ svänger i planet (pilar vinkelrätt mot strålen) och $E_s$ vinkelrätt mot det (⊙). Den reflekterade strålen har kortare $p$-pilar eftersom $R_p<R_s$.*

---

## 2. Formlerna

Med infallsvinkeln $\theta_i$ och brytningsvinkeln $\theta_b$ ger Maxwells ekvationer de reflekterade amplituderna

$$
E_{rp}=E_{ip}\cdot\dfrac{\tan(\theta_i-\theta_b)}{\tan(\theta_i+\theta_b)}
\qquad
E_{rs}=-E_{is}\cdot\dfrac{\sin(\theta_i-\theta_b)}{\sin(\theta_i+\theta_b)}
$$

Vinklarna är inte fria från varandra utan kopplade av [[Snells lag|brytningslagen]]:

$$
n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_b
$$
*Fysika: Fc6a*

---

## 3. Reflektanserna

Kvadrering ger intensiteterna, och kvoten mellan reflekterad och infallande intensitet för respektive komposant kallas reflektansen:

$$
\boxed{R_p=\dfrac{I_{rp}}{I_{ip}}=\dfrac{\tan^2(\theta_i-\theta_b)}{\tan^2(\theta_i+\theta_b)}}
\qquad
\boxed{R_s=\dfrac{I_{rs}}{I_{is}}=\dfrac{\sin^2(\theta_i-\theta_b)}{\sin^2(\theta_i+\theta_b)}}
$$
*Fysika: Fc3 (Fresnels formler, i formen $R_\parallel=\tan^2(i-b)/\tan^2(i+b)$ och $R_\perp=\sin^2(i-b)/\sin^2(i+b)$)*

Är det infallande ljuset opolariserat med intensiteten $I_0$ fördelar det sig jämnt mellan komposanterna,

$$
I_{ip}=I_{is}=\dfrac{I_0}{2}
$$

och den totalt reflekterade intensiteten blir $I_r=I_{rp}+I_{rs}$.

Plottar vi reflektanserna mot infallsvinkeln syns skillnaden mellan komposanterna direkt: $R_s$ växer monotont, medan $R_p$ först dyker ned till noll och sedan stiger. Vid vinkelrätt infall sammanfaller de, och vid strykande infall går båda mot $1$.

![[fresnel-reflektanser-luft-glas.png|620]]

Nollstället hos $R_p$ är [[Brewsters vinkel]].

---

## 4. Specialfall: små vinklar

Är infallsvinkeln liten blir även brytningsvinkeln liten, och serieutveckling ger approximationer av typen $\sin(\theta_i-\theta_b)\approx\theta_i-\theta_b$. Formlerna blir då

$$
E_{rp}=E_{ip}\cdot\dfrac{\theta_i-\theta_b}{\theta_i+\theta_b}
\qquad
E_{rs}=-E_{is}\cdot\dfrac{\theta_i-\theta_b}{\theta_i+\theta_b}
$$

Med brytningslagen i samma approximation, $n_1\theta_i=n_2\theta_b$, faller vinklarna bort helt:

$$
E_{rp}=E_{ip}\cdot\dfrac{n_2-n_1}{n_2+n_1}
\qquad
E_{rs}=-E_{is}\cdot\dfrac{n_2-n_1}{n_2+n_1}
$$

Eftersom båda komposanterna nu reflekteras lika mycket gäller $I_{rp}=I_{rs}$, och reflektansen beror bara på brytningsindexen:

$$
\boxed{R=\dfrac{I_r}{I_i}=\dfrac{(n_2-n_1)^2}{(n_2+n_1)^2}}
$$
*Fysika: Fc3 (vinkelrätt infall)*

---

## 5. Fassprånget vid reflektion

Tecknet i formlerna bär fysik. Om $n_1<n_2$ är

$$
\dfrac{E_{rs}}{E_{is}}=-\dfrac{n_2-n_1}{n_2+n_1}<0
$$

och den negativa kvoten betyder att den reflekterade vågen fasförskjuts $\pi$ radianer, vilket motsvarar en vägskillnad på en halv våglängd. Samma sak gäller den parallella komposanten, eftersom de positiva riktningarna för $E_{ip}$ och $E_{rp}$ är motriktade.

Vid reflektion mot ett optiskt *tunnare* medium, $n_1>n_2$, blir kvoten positiv och något fassprång uppstår inte. Skillnaden är avgörande för [[Interferens i tunna skikt|interferens i tunna skikt]].

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1124|33.5 Polarization — Polarization by Reflection]]
- Vågkompendiet (Fällström), avsnitt 2.2 *Reflektion av ljus*

## Se även

- [[Polarisation]]
- [[Snells lag]]
- [[Brewsters vinkel]]
- [[Reflektion av vågor]]
- [[Interferens i tunna skikt]]
- [[Totalreflektion]]

## Resurser

- [Wikipedia: Fresnel equations](https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_equations)

---

← [[Malus lag]] · [[F0005T]] · [[Brewsters vinkel]] →