Stefan-Boltzmanns lag

Kurs: F0005T Förkunskaper: Svartkroppsstrålning

---

Den totala intensiteten från en svartkropp — effekten per kvadratmeter yta, summerad över alla våglängder — växer med fjärde potensen av temperaturen, med $\sigma =5,6704\cdot 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4)$. Lagen fås genom att integrera Plancks strålningslag över alla våglängder.

$$\boxed{I=\sigma T^4}$$

Fysika: Fd4 (Stefan-Boltzmanns lag)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{utstra˚lad effekt}\\ {\text{per m}}^2\end{array}}{\underbrace{I}}=\underset{\begin{array}{c}\text{Stefan-Boltzmanns}\\ \text{konstant}\end{array}}{\underbrace{\sigma }}\underset{\begin{array}{c}\text{absolut temp.}\\ \text{uppho¨jd till 4}\end{array}}{\underbrace{T^4}}$$

$$\underset{\text{effekt}}{\underbrace{P}}=\underset{\begin{array}{c}\text{emissivitet}\\ 0\le e\le 1\end{array}}{\underbrace{e}}\sigma \underset{\begin{array}{c}\text{stra˚lande}\\ \text{yta}\end{array}}{\underbrace{A}}{T}^4$$

Fjärde potensen gör temperaturen helt dominerande: en dubbelt så varm kropp strålar sexton gånger mer. Arean och emissiviteten skalar bara resultatet rakt proportionellt.

---

1. Från intensitet till effekt

$I$ är effekt per kvadratmeter. En svartkropp med ytan $A$ strålar därför ut effekten $\sigma A{T}^4$. En verklig yta strålar mindre, och det beskrivs med emissiviteten $e$, där $0\le e\le 1$ och $e=1$ gäller för en svartkropp:

$$\boxed{P=e\sigma A{T}^4}$$

En kropp tar också emot strålning från omgivningen. Den nettoeffekt som strålar ut beror därför på båda temperaturerna, se Värmetransport:

$$P_{\text{netto}}=e\sigma A\left(T^4-T_{\text{omg}}^4\right)$$

---

2. Härledning ur Plancks lag

Den totala intensiteten är arean under Plancks kurva. Integralen ger $T^4$-beroendet och uttrycker samtidigt $\sigma$ i naturkonstanter.

Härledning av Stefan-Boltzmanns lag

Integralen.

$$I={\int }_0^{\infty }\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5\left(e^{hc/\lambda k_{B}T}-1\right)}d\lambda$$

Fysika: Fd4 (Plancks strålningslag, med $c_1=2\pi h{c}^2$ och $c_2=hc/k$)

Variabelbyte. Sätt $x=hc/(\lambda k_{B}T)$. Då gäller

$$\lambda =\frac{hc}{x{k}_{B}T}d\lambda =-\frac{hc}{x^2{k}_{B}T}dx\frac{1}{{\lambda }^5}={\left(\frac{x{k}_{B}T}{hc}\right)}^5$$

och gränserna $\lambda :0\to \infty$ blir $x:\infty \to 0$. Minustecknet vänder tillbaka gränserna.

Sätt in.

$$I=2\pi h{c}^2{\int }_0^{\infty }{\left(\frac{x{k}_{B}T}{hc}\right)}^5\frac{1}{e^x-1}\cdot \frac{hc}{x^2{k}_{B}T}dx$$

$$I=\frac{2\pi k_B^4{T}^4}{h^3{c}^2}{\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx$$

Standardintegralen. ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}\approx 6,494$, så

$$I=\frac{2{\pi }^5{k}_B^4}{15c^2{h}^3}{T}^4$$

Jämför vi med $I=\sigma T^4$ ser vi att Stefan-Boltzmanns konstant är en kombination av naturkonstanter:

$$\boxed{\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}_B^4}{15c^2{h}^3}=5,67\cdot 10^{-8}{\text{ W/(m}}^2{\text{K}}^4)}$$

Fysika: Te ($\sigma$, i formen ${\pi }^2{k}^4/(60{\hslash }^3{c}^2)$)

---

3. Fjärde potensen

Eftersom intensiteten växer som $T^4$ får små temperaturändringar stor effekt:

• Dubblas $T$ blir $I$ $2^4=16$ gånger större.
• Ökar $T$ med $10\%$ ökar $I$ med $1,1^4-1\approx 46\%$.
• För små ändringar gäller $\frac{\Delta I}{I}\approx 4\frac{\Delta T}{T}$.

$I=\sigma T^4$ i log-log-skala blir en rät linje med lutningen $4$: en fördubbling av $T$ ger 16 gånger större intensitet, och från rumstemperatur till solytan växer intensiteten med över fem tiopotenser.

Vanliga fel

• Temperaturen anges i Celsius. $T^4$ förstärker felet enormt. Räkna alltid i kelvin.
• Fel area. En kula strålar från hela ytan $4\pi r^2$, inte från tvärsnittet $\pi r^2$.
• Omgivningen glöms bort. Frågas det efter den effekt som måste tillföras för att hålla temperaturen är det nettoeffekten som gäller.
• $T_{\text{omg}}$ dras av före upphöjningen. $T^4-T_{\text{omg}}^4$ är inte samma sak som $(T-T_{\text{omg}}{)}^4$.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Svart kula i ett rum

En svart kula med radien $3,00$ cm hålls vid temperaturen $800$ K i ett rum där väggarna har temperaturen $20{}^{\circ }$C. Beräkna den effekt kulan strålar ut, den effekt den tar emot från väggarna och den effekt som måste tillföras för att hålla temperaturen konstant.

Lösning

Arean.

$$A=4\pi r^2=4\pi \cdot 0,0300^2=1,131\cdot 10^{-2}{\text{ m}}^2$$

Utstrålad effekt. Med $e=1$:

$$P_{\text{ut}}=\sigma A{T}^4=5,67\cdot 10^{-8}\cdot 1,131\cdot 10^{-2}\cdot 800^4\approx \boxed{263\text{ W}}$$

Mottagen effekt. En svartkropp absorberar allt, och väggarna har $T_{\text{omg}}=293$ K:

$$P_{\text{in}}=\sigma A{T}_{\text{omg}}^4=5,67\cdot 10^{-8}\cdot 1,131\cdot 10^{-2}\cdot 293^4\approx \boxed{4,73\text{ W}}$$

Nettoeffekt.

$$P_{\text{netto}}=263-4,73\approx \boxed{258\text{ W}}$$

Omgivningen betyder bara ett par procent, eftersom $(293/800{)}^4\approx 0,018$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Två stjärnor med samma effekt

Två stjärnor strålar som svartkroppar och sänder ut samma totala effekt. Stjärna A har sin spektrala topp vid $400$ nm och stjärna B vid $800$ nm. Hur många gånger större är B:s radie än A:s?

Lösning

Temperaturerna. Wiens förskjutningslag ger

$$T_A=\frac{2,90\cdot 10^{-3}}{400\cdot 10^{-9}}=7250\text{ K}{T}_B=\frac{2,90\cdot 10^{-3}}{800\cdot 10^{-9}}=3625\text{ K}$$

Fysika: Fd4 (Wiens förskjutningslag)

Lika effekt. Med $P=\sigma \cdot 4\pi R^2\cdot T^4$ för båda:

$$R_A^2{T}_A^4=R_B^2{T}_B^4$$

$$\frac{R_B}{R_A}={\left(\frac{T_A}{T_B}\right)}^2=2^2=\boxed{4}$$

Den kallare, röda stjärnan måste vara fyra gånger större för att stråla lika mycket.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.5 Continuous Spectra

---

← Svartkroppsstrålning · F0005T · Wiens förskjutningslag →