--- kurs: - F0005T tags: - fysik - kvantfysik - samband förkunskaper: - "[[Svartkroppsstrålning]]" status: utkast aliases: - Stefan-Boltzmannkonstanten - Emittans - Total utstrålad intensitet --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Svartkroppsstrålning]] --- Den totala intensiteten från en svartkropp — effekten per kvadratmeter yta, summerad över alla våglängder — växer med fjärde potensen av temperaturen, med $\sigma=5{,}6704\cdot10^{-8}\ \mathrm{W/(m^2K^4)}$. Lagen fås genom att integrera Plancks strålningslag över alla våglängder. $$ \boxed{\;I=\sigma T^{4}\;} $$ *Fysika: Fd4 (Stefan-Boltzmanns lag)* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{I}_{\substack{\text{utstrålad effekt}\\\text{per m}^2}} =\underbrace{\sigma}_{\substack{\text{Stefan-Boltzmanns}\\\text{konstant}}}\, \underbrace{T^{4}}_{\substack{\text{absolut temp.}\\\text{upphöjd till 4}}} $$ $$ \underbrace{P}_{\text{effekt}} =\underbrace{e}_{\substack{\text{emissivitet}\\0\le e\le1}}\,\sigma\, \underbrace{A}_{\substack{\text{strålande}\\\text{yta}}}\,T^{4} $$ Fjärde potensen gör temperaturen helt dominerande: en dubbelt så varm kropp strålar sexton gånger mer. Arean och emissiviteten skalar bara resultatet rakt proportionellt. --- ## 1. Från intensitet till effekt $I$ är effekt per kvadratmeter. En svartkropp med ytan $A$ strålar därför ut effekten $\sigma AT^4$. En verklig yta strålar mindre, och det beskrivs med emissiviteten $e$, där $0\le e\le1$ och $e=1$ gäller för en svartkropp: $$ \boxed{P=e\sigma AT^{4}} $$ En kropp tar också emot strålning från omgivningen. Den nettoeffekt som strålar ut beror därför på båda temperaturerna, se [[Värmetransport]]: $$ P_{\text{netto}}=e\sigma A\left(T^{4}-T_{\text{omg}}^{4}\right) $$ --- ## 2. Härledning ur Plancks lag Den totala intensiteten är arean under [[Plancks strålningslag|Plancks kurva]]. Integralen ger $T^4$-beroendet och uttrycker samtidigt $\sigma$ i naturkonstanter. > [!note]- Härledning av Stefan-Boltzmanns lag > **Integralen.** > $$ > I=\int_0^{\infty}\dfrac{2\pi hc^{2}}{\lambda^{5}\left(e^{hc/\lambda k_BT}-1\right)}\,d\lambda > $$ > *Fysika: Fd4 (Plancks strålningslag, med $c_1=2\pi hc^2$ och $c_2=hc/k$)* > > **Variabelbyte.** Sätt $x=hc/(\lambda k_BT)$. Då gäller > $$ > \lambda=\dfrac{hc}{xk_BT}\qquad d\lambda=-\dfrac{hc}{x^{2}k_BT}\,dx\qquad \dfrac{1}{\lambda^{5}}=\left(\dfrac{xk_BT}{hc}\right)^{5} > $$ > och gränserna $\lambda:0\to\infty$ blir $x:\infty\to0$. Minustecknet vänder tillbaka gränserna. > > **Sätt in.** > $$ > I=2\pi hc^{2}\int_0^{\infty}\left(\dfrac{xk_BT}{hc}\right)^{5}\dfrac{1}{e^{x}-1}\cdot\dfrac{hc}{x^{2}k_BT}\,dx > $$ > $$ > I=\dfrac{2\pi k_B^{4}T^{4}}{h^{3}c^{2}}\int_0^{\infty}\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx > $$ > > **Standardintegralen.** $\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx=\dfrac{\pi^{4}}{15}\approx6{,}494$, så > $$ > I=\dfrac{2\pi^{5}k_B^{4}}{15c^{2}h^{3}}\,T^{4} > $$ Jämför vi med $I=\sigma T^4$ ser vi att Stefan-Boltzmanns konstant är en kombination av naturkonstanter: $$ \boxed{\sigma=\dfrac{2\pi^{5}k_B^{4}}{15c^{2}h^{3}}=5{,}67\cdot10^{-8}\text{ W/(m}^{2}\text{K}^{4})} $$ *Fysika: Te ($\sigma$, i formen $\pi^2k^4/(60\hbar^3c^2)$)* --- ## 3. Fjärde potensen Eftersom intensiteten växer som $T^4$ får små temperaturändringar stor effekt: - Dubblas $T$ blir $I$ $2^4=16$ gånger större. - Ökar $T$ med $10\,\%$ ökar $I$ med $1{,}1^4-1\approx46\,\%$. - För små ändringar gäller $\dfrac{\Delta I}{I}\approx4\,\dfrac{\Delta T}{T}$. ![[f05-stefan-boltzmann.png|520]] *$I=\sigma T^4$ i log-log-skala blir en rät linje med lutningen $4$: en fördubbling av $T$ ger 16 gånger större intensitet, och från rumstemperatur till solytan växer intensiteten med över fem tiopotenser.* > [!warning] Vanliga fel > - **Temperaturen anges i Celsius.** $T^4$ förstärker felet enormt. Räkna alltid i kelvin. > - **Fel area.** En kula strålar från hela ytan $4\pi r^{2}$, inte från tvärsnittet $\pi r^{2}$. > - **Omgivningen glöms bort.** Frågas det efter den effekt som måste tillföras för att hålla temperaturen är det nettoeffekten som gäller. > - **$T_{\text{omg}}$ dras av före upphöjningen.** $T^4-T_{\text{omg}}^4$ är inte samma sak som $(T-T_{\text{omg}})^4$. --- ## 4. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Svart kula i ett rum > En svart kula med radien $3{,}00$ cm hålls vid temperaturen $800$ K i ett rum där väggarna har temperaturen $20\ ^\circ$C. Beräkna den effekt kulan strålar ut, den effekt den tar emot från väggarna och den effekt som måste tillföras för att hålla temperaturen konstant. > > > [!note]- Lösning > > **Arean.** > > $$ > > A=4\pi r^{2}=4\pi\cdot0{,}0300^{2}=1{,}131\cdot10^{-2}\text{ m}^{2} > > $$ > > > > **Utstrålad effekt.** Med $e=1$: > > $$ > > P_{\text{ut}}=\sigma AT^{4}=5{,}67\cdot10^{-8}\cdot1{,}131\cdot10^{-2}\cdot800^{4}\approx\boxed{263\text{ W}} > > $$ > > > > **Mottagen effekt.** En svartkropp absorberar allt, och väggarna har $T_{\text{omg}}=293$ K: > > $$ > > P_{\text{in}}=\sigma AT_{\text{omg}}^{4}=5{,}67\cdot10^{-8}\cdot1{,}131\cdot10^{-2}\cdot293^{4}\approx\boxed{4{,}73\text{ W}} > > $$ > > > > **Nettoeffekt.** > > $$ > > P_{\text{netto}}=263-4{,}73\approx\boxed{258\text{ W}} > > $$ > > Omgivningen betyder bara ett par procent, eftersom $(293/800)^4\approx0{,}018$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Två stjärnor med samma effekt > Två stjärnor strålar som svartkroppar och sänder ut samma totala effekt. Stjärna A har sin spektrala topp vid $400$ nm och stjärna B vid $800$ nm. Hur många gånger större är B:s radie än A:s? > > > [!note]- Lösning > > **Temperaturerna.** [[Wiens förskjutningslag]] ger > > $$ > > T_A=\dfrac{2{,}90\cdot10^{-3}}{400\cdot10^{-9}}=7250\text{ K}\qquad T_B=\dfrac{2{,}90\cdot10^{-3}}{800\cdot10^{-9}}=3625\text{ K} > > $$ > > *Fysika: Fd4 (Wiens förskjutningslag)* > > > > **Lika effekt.** Med $P=\sigma\cdot4\pi R^{2}\cdot T^{4}$ för båda: > > $$ > > R_A^{2}T_A^{4}=R_B^{2}T_B^{4} > > $$ > > $$ > > \dfrac{R_B}{R_A}=\left(\dfrac{T_A}{T_B}\right)^{2}=2^{2}=\boxed{4} > > $$ > > > > Den kallare, röda stjärnan måste vara fyra gånger större för att stråla lika mycket. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1333|39.5 Continuous Spectra]] --- ← [[Svartkroppsstrålning]] · [[F0005T]] · [[Wiens förskjutningslag]] →