Wiens förskjutningslag

Kurs: F0005T Förkunskaper: Svartkroppsstrålning

---

Våglängden där spektralemittansen är som störst är omvänt proportionell mot temperaturen: en varmare kropp lyser blåare. Lagen fås genom att derivera Plancks strålningslag och söka maximum.

$$\boxed{{\lambda }_{\max }T=2,90\cdot 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}}$$

Fysika: Fd4 (Wiens förskjutningslag, som ${\lambda }_{m}T=b$ med $b=2,8978\cdot 10^{-3}$ m·K)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{toppens}\\ \text{va˚gla¨ngd}\end{array}}{\underbrace{{\lambda }_{\max }}}\underset{\begin{array}{c}\text{absolut}\\ \text{temperatur}\end{array}}{\underbrace{T}}=\underset{\begin{array}{c}\text{Wiens konstant}\\ 2,90\cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot \text{K}\end{array}}{\underbrace{b}}$$

$$\underset{\begin{array}{c}\text{fotonenergin}\\ \text{vid toppen}\end{array}}{\underbrace{\frac{hc}{{\lambda }_{\max }}}}=4,965\underset{\begin{array}{c}\text{termisk}\\ \text{energi}\end{array}}{\underbrace{k_{B}T}}$$

Toppen ligger där fotonerna har ungefär fem gånger den termiska energin $k_{B}T$. Dubblas temperaturen dubblas den typiska fotonenergin, och våglängden halveras.

---

1. Vad lagen säger

${\lambda }_{\max }$ är omvänt proportionell mot $T$. Dubblas temperaturen halveras alltså våglängden för toppen. Några typiska värden:

Kropp	$T$	${\lambda }_{\max }$	Område
Människokropp	$310$ K	$9,35$ μm	infrarött
Glödande järn	$1000$ K	$2,90$ μm	infrarött
Glödtråd	$2800$ K	$1,04$ μm	nära infrarött
Het stjärna	$6000$ K	$483$ nm	synligt
Mycket het stjärna	$10000$ K	$290$ nm	ultraviolett

Kurvorna för olika temperaturer korsar aldrig varandra, så en varmare kropp strålar mer vid varje våglängd. När kroppen värms upp går färgen från mörkröd över gul och vit mot blåvit. Lagen gör det också möjligt att mäta temperaturen på avstånd, eftersom det räcker att veta var i spektrumet toppen ligger. Det gäller till exempel för stjärnor och för smält metall.

Plancks kurvor för 3000–6000 K med logaritmisk intensitetsaxel: toppen (punkterna) flyttas mot kortare våglängd längs den streckade kurvan ${\lambda }_{\max }=b/T$, från nära infrarött in i det synliga, och en varmare kurva ligger över en kallare vid varje våglängd.

---

2. Härledning ur Plancks lag

Toppen ligger där derivatan av Plancks spektralemittans är noll. Konstanten i lagen visar sig då bestå av naturkonstanter.

Härledning av Wiens förskjutningslag

Förenkla. Skriv $I(\lambda )=a{\lambda }^{-5}{\left(e^{b/\lambda }-1\right)}^{-1}$ med $a=2\pi h{c}^2$ och $b=hc/(k_{B}T)$.

Derivera. Med produkt- och kedjeregeln:

$$\frac{dI}{d\lambda }=a\left[-5{\lambda }^{-6}{\left(e^{b/\lambda }-1\right)}^{-1}+{\lambda }^{-5}{\left(e^{b/\lambda }-1\right)}^{-2}{e}^{b/\lambda }\frac{b}{{\lambda }^2}\right]$$

Sätt lika med noll och multiplicera med ${\lambda }^6{\left(e^{b/\lambda }-1\right)}^2/a$:

$$-5\left(e^{b/\lambda }-1\right)+\frac{b}{\lambda }{e}^{b/\lambda }=0$$

Dimensionslös form. Med $x=b/\lambda =hc/(\lambda k_{B}T)$ blir det

$$x{e}^x=5\left(e^x-1\right)$$

$$5-x=5e^{-x}$$

Lös numeriskt. Iterera $x_{k+1}=5\left(1-e^{-x_k}\right)$ från $x_0=5$. Det ger $4,966$ och sedan $4,965$, så $x=4,965$.

Toppen ligger alltså vid $hc/({\lambda }_{\max }{k}_{B}T)=4,965$:

$$\boxed{{\lambda }_{\max }=\frac{hc}{4,965k_{B}T}}$$

$$\frac{hc}{4,965k_B}=\frac{6,626\cdot 10^{-34}\cdot 2,998\cdot 10^8}{4,965\cdot 1,381\cdot 10^{-23}}=2,898\cdot 10^{-3}\text{ m}\cdot \text{K}$$

Fysika: Te ($h$, $c$, $k$)

Det stämmer med det uppmätta värdet i rutan överst.

Vanliga fel

• Temperaturen anges i Celsius. Lagen gäller för absolut temperatur.
• Fel enhet på svaret. Konstanten är i m·K, så ${\lambda }_{\max }$ kommer ut i meter. Räkna om till μm eller nm först i sista steget.
• $c/{\lambda }_{\max }$ tas för frekvensen där strålningen är störst. Ritar man spektrumet per frekvensintervall hamnar toppen i stället vid $hf=2,821k_{B}T$, alltså inte vid $c/{\lambda }_{\max }$. Frågas det om ${\lambda }_{\max }$ är det lagen ovan som gäller.
• Kroppen tros bara stråla vid ${\lambda }_{\max }$. Spektrumet är brett. ${\lambda }_{\max }$ är bara läget för toppen.

---

3. Lösta exempel

Exempel — Värmekamera och glödlampa

Huden har temperaturen $34,0{}^{\circ }$C och en glödtråd $2700$ K. Behandla båda som svartkroppar, beräkna ${\lambda }_{\max }$ och avgör i vilken del av spektrumet toppen ligger.

Lösning

Huden. $T=34,0+273,15=307,15$ K:

$${\lambda }_{\max }=\frac{2,90\cdot 10^{-3}}{307,15}=9,44\cdot 10^{-6}\text{ m}=\boxed{9,44\text{ μm}}$$

Det är långvågigt infrarött, och därför är värmekameror byggda för våglängder runt $10$ μm.

Glödtråden.

$${\lambda }_{\max }=\frac{2,90\cdot 10^{-3}}{2700}=1,07\cdot 10^{-6}\text{ m}=\boxed{1,07\text{ μm}}$$

Toppen ligger i det nära infraröda, strax utanför det synliga. Det mesta av glödlampans effekt blir därför värme och inte ljus.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Kosmisk bakgrundsstrålning

Universum är fyllt av svartkroppsstrålning med temperaturen $2,725$ K. Bestäm ${\lambda }_{\max }$ och fotonenergin vid den våglängden.

Lösning

Toppens läge.

$${\lambda }_{\max }=\frac{2,90\cdot 10^{-3}}{2,725}=1,06\cdot 10^{-3}\text{ m}=\boxed{1,06\text{ mm}}$$

Det ligger i mikrovågsområdet.

Fotonenergin. Med $hc=1240$ eV·nm och $\lambda =1,06\cdot 10^6$ nm:

$$E=\frac{hc}{\lambda }=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{1,06\cdot 10^6\text{ nm}}\approx \boxed{1,17\cdot 10^{-3}\text{ eV}}$$

Det är ungefär tusen gånger mindre än energin hos en foton av synligt ljus.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 39.5 Continuous Spectra

---

← Stefan-Boltzmanns lag · F0005T · Plancks strålningslag →