--- kurs: - F0005T tags: - fysik - kvantfysik - samband förkunskaper: - "[[Svartkroppsstrålning]]" status: utkast aliases: - Förskjutningslagen - Wiens konstant --- > **Kurs:** F0005T > **Förkunskaper:** [[Svartkroppsstrålning]] --- Våglängden där spektralemittansen är som störst är omvänt proportionell mot temperaturen: en varmare kropp lyser blåare. Lagen fås genom att derivera Plancks strålningslag och söka maximum. $$ \boxed{\;\lambda_{\max}T=2{,}90\cdot10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}\;} $$ *Fysika: Fd4 (Wiens förskjutningslag, som $\lambda_mT=b$ med $b=2{,}8978\cdot10^{-3}$ m·K)* --- ## Formeln, symbol för symbol $$ \underbrace{\lambda_{\max}}_{\substack{\text{toppens}\\\text{våglängd}}}\, \underbrace{T}_{\substack{\text{absolut}\\\text{temperatur}}} =\underbrace{b}_{\substack{\text{Wiens konstant}\\2{,}90\cdot10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K}}} $$ $$ \underbrace{\dfrac{hc}{\lambda_{\max}}}_{\substack{\text{fotonenergin}\\\text{vid toppen}}} =4{,}965\,\underbrace{k_BT}_{\substack{\text{termisk}\\\text{energi}}} $$ Toppen ligger där fotonerna har ungefär fem gånger den termiska energin $k_BT$. Dubblas temperaturen dubblas den typiska fotonenergin, och våglängden halveras. --- ## 1. Vad lagen säger $\lambda_{\max}$ är omvänt proportionell mot $T$. Dubblas temperaturen halveras alltså våglängden för toppen. Några typiska värden: | Kropp | $T$ | $\lambda_{\max}$ | Område | |---|---|---|---| | Människokropp | $310$ K | $9{,}35$ μm | infrarött | | Glödande järn | $1000$ K | $2{,}90$ μm | infrarött | | Glödtråd | $2800$ K | $1{,}04$ μm | nära infrarött | | Het stjärna | $6000$ K | $483$ nm | synligt | | Mycket het stjärna | $10\,000$ K | $290$ nm | ultraviolett | Kurvorna för olika temperaturer korsar aldrig varandra, så en varmare kropp strålar mer vid *varje* våglängd. När kroppen värms upp går färgen från mörkröd över gul och vit mot blåvit. Lagen gör det också möjligt att mäta temperaturen på avstånd, eftersom det räcker att veta var i spektrumet toppen ligger. Det gäller till exempel för stjärnor och för smält metall. ![[f05-wien.png|520]] *Plancks kurvor för 3000–6000 K med logaritmisk intensitetsaxel: toppen (punkterna) flyttas mot kortare våglängd längs den streckade kurvan $\lambda_{\max}=b/T$, från nära infrarött in i det synliga, och en varmare kurva ligger över en kallare vid varje våglängd.* --- ## 2. Härledning ur Plancks lag Toppen ligger där derivatan av [[Plancks strålningslag|Plancks spektralemittans]] är noll. Konstanten i lagen visar sig då bestå av naturkonstanter. > [!note]- Härledning av Wiens förskjutningslag > **Förenkla.** Skriv $I(\lambda)=a\,\lambda^{-5}\left(e^{b/\lambda}-1\right)^{-1}$ med $a=2\pi hc^{2}$ och $b=hc/(k_BT)$. > > **Derivera.** Med produkt- och kedjeregeln: > $$ > \dfrac{dI}{d\lambda}=a\left[-5\lambda^{-6}\left(e^{b/\lambda}-1\right)^{-1}+\lambda^{-5}\left(e^{b/\lambda}-1\right)^{-2}e^{b/\lambda}\dfrac{b}{\lambda^{2}}\right] > $$ > > **Sätt lika med noll** och multiplicera med $\lambda^{6}\left(e^{b/\lambda}-1\right)^{2}/a$: > $$ > -5\left(e^{b/\lambda}-1\right)+\dfrac{b}{\lambda}\,e^{b/\lambda}=0 > $$ > > **Dimensionslös form.** Med $x=b/\lambda=hc/(\lambda k_BT)$ blir det > $$ > xe^{x}=5\left(e^{x}-1\right) > $$ > $$ > 5-x=5e^{-x} > $$ > > **Lös numeriskt.** Iterera $x_{k+1}=5\left(1-e^{-x_k}\right)$ från $x_0=5$. Det ger $4{,}966$ och sedan $4{,}965$, så $x=4{,}965$. Toppen ligger alltså vid $hc/(\lambda_{\max}k_BT)=4{,}965$: $$ \boxed{\lambda_{\max}=\dfrac{hc}{4{,}965\,k_BT}} $$ $$ \dfrac{hc}{4{,}965\,k_B}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot2{,}998\cdot10^{8}}{4{,}965\cdot1{,}381\cdot10^{-23}}=2{,}898\cdot10^{-3}\text{ m}\cdot\text{K} $$ *Fysika: Te ($h$, $c$, $k$)* Det stämmer med det uppmätta värdet i rutan överst. > [!warning] Vanliga fel > - **Temperaturen anges i Celsius.** Lagen gäller för absolut temperatur. > - **Fel enhet på svaret.** Konstanten är i m·K, så $\lambda_{\max}$ kommer ut i meter. Räkna om till μm eller nm först i sista steget. > - **$c/\lambda_{\max}$ tas för frekvensen där strålningen är störst.** Ritar man spektrumet per frekvensintervall hamnar toppen i stället vid $hf=2{,}821\,k_BT$, alltså inte vid $c/\lambda_{\max}$. Frågas det om $\lambda_{\max}$ är det lagen ovan som gäller. > - **Kroppen tros bara stråla vid $\lambda_{\max}$.** Spektrumet är brett. $\lambda_{\max}$ är bara läget för toppen. --- ## 3. Lösta exempel > [!example]- Exempel — Värmekamera och glödlampa > Huden har temperaturen $34{,}0\ ^\circ$C och en glödtråd $2700$ K. Behandla båda som svartkroppar, beräkna $\lambda_{\max}$ och avgör i vilken del av spektrumet toppen ligger. > > > [!note]- Lösning > > **Huden.** $T=34{,}0+273{,}15=307{,}15$ K: > > $$ > > \lambda_{\max}=\dfrac{2{,}90\cdot10^{-3}}{307{,}15}=9{,}44\cdot10^{-6}\text{ m}=\boxed{9{,}44\text{ μm}} > > $$ > > Det är långvågigt infrarött, och därför är värmekameror byggda för våglängder runt $10$ μm. > > > > **Glödtråden.** > > $$ > > \lambda_{\max}=\dfrac{2{,}90\cdot10^{-3}}{2700}=1{,}07\cdot10^{-6}\text{ m}=\boxed{1{,}07\text{ μm}} > > $$ > > Toppen ligger i det nära infraröda, strax utanför det synliga. Det mesta av glödlampans effekt blir därför värme och inte ljus. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Exempel — Kosmisk bakgrundsstrålning > Universum är fyllt av svartkroppsstrålning med temperaturen $2{,}725$ K. Bestäm $\lambda_{\max}$ och fotonenergin vid den våglängden. > > > [!note]- Lösning > > **Toppens läge.** > > $$ > > \lambda_{\max}=\dfrac{2{,}90\cdot10^{-3}}{2{,}725}=1{,}06\cdot10^{-3}\text{ m}=\boxed{1{,}06\text{ mm}} > > $$ > > Det ligger i mikrovågsområdet. > > > > **Fotonenergin.** Med $hc=1240$ eV·nm och $\lambda=1{,}06\cdot10^{6}$ nm: > > $$ > > E=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{1{,}06\cdot10^{6}\text{ nm}}\approx\boxed{1{,}17\cdot10^{-3}\text{ eV}} > > $$ > > Det är ungefär tusen gånger mindre än energin hos en foton av synligt ljus. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* ## Läsning - [[z.University Physics.pdf#page=1333|39.5 Continuous Spectra]] --- ← [[Stefan-Boltzmanns lag]] · [[F0005T]] · [[Plancks strålningslag]] →