Normalfördelning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Kontinuerliga stokastiska variabler

---

Normalfördelningen är den klockformade fördelning som bestäms helt av sitt väntevärde $\mu$ och sin standardavvikelse $\sigma$. Den är den viktigaste fördelningen i kursen, eftersom summor av många oberoende bidrag blir approximativt normalfördelade.

---

1. Frekvensfunktionen

En kontinuerlig stokastisk variabel $\xi$ är normalfördelad, $\xi \in N(\mu ,\sigma )$, om dess frekvensfunktion är

$$\boxed{f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x<\infty }$$

$N(\mu ,\sigma )$ hos Vännman, $N(\mu ,{\sigma }^2)$ nästan överallt annars

Kursen följer Vännman och skriver $\xi \in N(\mu ,\sigma )$ med standardavvikelsen som andra parameter. De flesta andra böcker, Wikipedia, Python och R skriver $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$, med tilde och varians. Det är inte bara skrivsättet som skiljer: $N(170,10)$ här är samma fördelning som $N(170,100)$ där. Kontrollera alltid vilken konvention en källa använder innan du stoppar in siffror.

Två parametrar räcker för att fastställa hela fördelningen, och de gör var sin sak:

• $\mu$ — väntevärdet. Flyttar klockan i sidled utan att ändra formen.
• $\sigma$ — standardavvikelsen. Styr bredden; hög $\sigma$ ger en låg och bred klocka, låg $\sigma$ en smal och hög.

Faktorn $1/(\sigma \sqrt{2\pi })$ är bara normeringen som gör att arean under kurvan blir $1$. Kurvan är symmetrisk kring $\mu$, så $\mu$ är också median och mest sannolika värde.

Normaliserade gaussianer med väntevärde $\mu$ och varians ${\sigma }^2$. Bild från Wikipedia, som använder variansen som parameter.

---

2. Sannolikheter via standardisering

Frekvensfunktionen går inte att integrera i slutna funktioner, så alla sannolikheter slås upp i tabell över $N(0,1)$. Sats 4.2 säger att om $\xi \in N(\mu ,\sigma )$ så är

$$\boxed{P(\xi \le x)=\Phi \left(\frac{x-\mu }{\sigma }\right)}$$

där $\Phi$ är fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen. Vi mäter alltså avståndet från väntevärdet i antal standardavvikelser. Samma sak på räknaren: normCdf(-∞,x,μ,σ).

68–95–99,7

Andelen av massan som ligger inom $1$, $2$ respektive $3$ standardavvikelser från väntevärdet är ungefär $68\%$, $95\%$ och $99,7\%$ — oavsett vilka $\mu$ och $\sigma$ som gäller. Det är den snabbaste rimlighetskollen som finns när man räknat fram en normalsannolikhet.

---

3. Varför den dyker upp överallt

Normalfördelningen är inte vanlig för att naturen råkar tycka om klockkurvor, utan för att den är en gränsfördelning: summerar man många oberoende bidrag går resultatet mot en normalfördelning oavsett hur de enskilda bidragen är fördelade. Det är innehållet i centrala gränsvärdessatsen, och det är därför mätfel, längder och brus så ofta modelleras normalt.

Situation	Vad som händer
Summa av många oberoende termer	Går mot normalfördelning — Centrala gränsvärdessatsen
Binomial med $np(1-p)\ge 10$	Approximeras av $N(np,\sqrt{np(1-p)})$
Poissonfördelning med stort $\lambda$	Approximeras av $N(\lambda ,\sqrt{\lambda })$
Linjärkombination av oberoende normalfördelade	Är exakt normalfördelad — se Summor av normalfördelade stokastiska variabler

Den bevarar sig själv

Att en summa av normalfördelade variabler själv är normalfördelad är ovanligt bland fördelningar och gör räkningarna lätta: det räcker att hålla reda på väntevärde och standardavvikelse, så är hela fördelningen känd.

---

4. Två dimensioner

Gaussisk funktion över en tvådimensionell domän. Bild från Wikipedia.

Med två variabler samtidigt bestäms fördelningen av två väntevärden, två standardavvikelser och korrelationen mellan variablerna — se Tvådimensionell normalfördelning.

---

5. Lösta lektionsuppgifter

Exempel — sannolikheten för en avvikelse uppåt

Längden hos en population är normalfördelad med $\mu =170$ cm och $\sigma =10$ cm. Hur stor andel är längre än $185$ cm?

Lösning

Setup. Vi söker $P(\xi >185)$ där $\xi \in N(170,10)$. Standardisera först.

Räkningen.

$$P(\xi >185)=1-\Phi \left(\frac{185-170}{10}\right)=1-\Phi (1,5)=1-0,9332=\boxed{0,0668}$$

Rimlighetskoll. $185$ cm ligger $1,5$ standardavvikelser över medelvärdet. Enligt $68$–$95$-regeln ligger $16\%$ ovanför $1\sigma$ och $2,5\%$ ovanför $2\sigma$, så svaret ska hamna mellan dessa. Knappt $7\%$ gör det.

På räknaren. normCdf(185,∞,170,10).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Lektion 7, övning 5 — Gångtid till universitetet

Gångtiden $\xi$ (minuter) vintertid mellan hemmet och Luleå tekniska universitet för en viss statistiklärare är normalfördelad med $\mu =18$ och $\sigma =1,5$. Beräkna sannolikheten att gångtiden en slumpmässigt vald vinterdag understiger 16 minuter.

Lösning

$\xi \in N(18,1,5)$. Den sökta sannolikheten är den skuggade svansen:

Sats 4.2:

$$P(\xi <16)=\Phi \left(\frac{16-18}{1,5}\right)=\Phi (-1,33)=1-\Phi (1,33)\approx 1-0,9082\approx \boxed{0,09}$$

Rimlighetskoll. 16 minuter ligger $1,33$ standardavvikelser under medelvärdet — mellan $1\sigma$ ($16\%$ under) och $2\sigma$ ($2,5\%$ under).

På räknaren. normCdf(-∞,16,18,1.5) — bocka i Draw så ritas den skuggade svansen.

Facit: 0,09.

Lektion 7, övning 7 (Vännman 4.29) — Symmetri kring $\mu$

Låt $\xi \in N(\mu ,\sigma )$. Beräkna

a) $P(\xi <\mu )$,

b) $P(\xi <\mu -\sigma )$,

c) $P(\xi >\mu +\sigma )$,

d) $P(\xi <\mu -2\sigma )$,

e) $P(\xi >\mu +2\sigma )$.

Diskutera vad resultaten säger om $\mu$ och $\sigma$ för en symmetrisk fördelning.

Lösning

Standardisera med $\eta =(\xi -\mu )/\sigma \in N(0,1)$.

a) Kurvan är symmetrisk kring $\mu$, så hälften av massan ligger till vänster:

$$P(\xi <\mu )=\Phi (0)=\boxed{0,5}$$

b)

$$P(\xi <\mu -\sigma )=P(\eta <-1)=1-\Phi (1)\approx 1-0,8413=\boxed{0,1587}$$

c) Samma svans på andra sidan:

$$P(\xi >\mu +\sigma )=P(\eta >1)=\boxed{0,1587}$$

d) och e) På samma sätt:

$$P(\xi <\mu -2\sigma )=P(\xi >\mu +2\sigma )=1-\Phi (2)\approx 1-0,9772=\boxed{0,0228}$$

Tolkning. $\mu$ är symmetricentrum och delar massan mitt itu. $\sigma$ är en naturlig längdskala: ungefär $16\%$ av massan ligger mer än en standardavvikelse ut åt varje håll, och drygt $2\%$ mer än två.

Uppgiften (Vännman 4.29) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaren stämmer med det.

Lektion 8, övning 1 — Inom en och tre standardavvikelser

Antag att $\xi \in N(\mu ,\sigma )$. Beräkna

a) $P(\mu -\sigma <\xi <\mu +\sigma )$,

b) $P(\mu -3\sigma <\xi <\mu +3\sigma )$.

Tolka i ord betydelsen av $\sigma$ i normalfördelningen med hjälp av sannolikheterna.

Lösning

Efter standardisering beror svaren inte på $\mu$ och $\sigma$:

a)

$$P(-1<\eta <1)=\Phi (1)-\Phi (-1)=2\Phi (1)-1\approx 2\cdot 0,8413-1=\boxed{0,683}$$

b)

$$P(-3<\eta <3)=2\Phi (3)-1\approx 2\cdot 0,99865-1=\boxed{0,997}$$

Tolkning. Ungefär två tredjedelar av alla observationer hamnar inom en standardavvikelse från väntevärdet, och praktiskt taget alla inom tre. Ett värde mer än $3\sigma$ från $\mu$ är så ovanligt att det bör väcka misstanke om att modellen inte stämmer.

På räknaren. normCdf(-1,1) och normCdf(-3,3).

Facit: a) 0,683, b) 0,997.

---

Se även

• Standardiserad normalfördelning
• Kontinuerliga stokastiska variabler
• Linjära funktioner av stokastiska variabler
• Summor av normalfördelade stokastiska variabler
• Centrala gränsvärdessatsen
• Tvådimensionell normalfördelning

Resurser

• 3Blue1Brown: But what is the Central Limit Theorem? — varför just den här kurvan dyker upp överallt
• Khan Academy: Normal distributions
• Wikipedia: Normalfördelning

---

← Exponentialfördelning · S0008M · Standardiserad normalfördelning →