--- kurs: - S0008M tags: - matematik - sannolikhetslära - fördelning förkunskaper: - "[[Kontinuerliga stokastiska variabler]]" status: utkast aliases: - Normalfördelningen - Gaussfördelning - N(μ,σ) - Normal distribution --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Kontinuerliga stokastiska variabler]] --- Normalfördelningen är den klockformade fördelning som bestäms helt av sitt väntevärde $\mu$ och sin standardavvikelse $\sigma$. Den är den viktigaste fördelningen i kursen, eftersom summor av många oberoende bidrag blir approximativt normalfördelade. --- ## 1. Frekvensfunktionen En kontinuerlig stokastisk variabel $\xi$ är **normalfördelad**, $\xi\in N(\mu,\sigma)$, om dess frekvensfunktion är $$ \boxed{f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\qquad -\infty [!warning] $N(\mu,\sigma)$ hos Vännman, $N(\mu,\sigma^2)$ nästan överallt annars > Kursen följer Vännman och skriver $\xi\in N(\mu,\sigma)$ med **standardavvikelsen** som andra parameter. De flesta andra böcker, Wikipedia, Python och R skriver $\xi\sim N(\mu,\sigma^2)$, med tilde och **varians**. Det är inte bara skrivsättet som skiljer: $N(170,\,10)$ här är samma fördelning som $N(170,\,100)$ där. Kontrollera alltid vilken konvention en källa använder innan du stoppar in siffror. Två parametrar räcker för att fastställa hela fördelningen, och de gör var sin sak: - $\mu$ — [[Väntevärde|väntevärdet]]. Flyttar klockan i sidled utan att ändra formen. - $\sigma$ — [[Varians och standardavvikelse|standardavvikelsen]]. Styr bredden; hög $\sigma$ ger en låg och bred klocka, låg $\sigma$ en smal och hög. Faktorn $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ är bara normeringen som gör att arean under kurvan blir $1$. Kurvan är symmetrisk kring $\mu$, så $\mu$ är också median och [[Mest sannolika värde|mest sannolika värde]]. ![[Pasted image 20260427092522.png|560]] Normaliserade gaussianer med väntevärde $\mu$ och varians $\sigma^2$. *Bild från Wikipedia, som använder variansen som parameter.* --- ## 2. Sannolikheter via standardisering Frekvensfunktionen går inte att integrera i slutna funktioner, så alla sannolikheter slås upp i tabell över $N(0,1)$. **Sats 4.2** säger att om $\xi\in N(\mu,\sigma)$ så är $$ \boxed{P(\xi\le x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)} $$ där $\Phi$ är fördelningsfunktionen för [[Standardiserad normalfördelning|den standardiserade normalfördelningen]]. Vi mäter alltså avståndet från väntevärdet i antal standardavvikelser. Samma sak på räknaren: `normCdf(-∞,x,μ,σ)`. > [!important] 68–95–99,7 > Andelen av massan som ligger inom $1$, $2$ respektive $3$ standardavvikelser från väntevärdet är ungefär $68\ \%$, $95\ \%$ och $99{,}7\ \%$ — oavsett vilka $\mu$ och $\sigma$ som gäller. Det är den snabbaste rimlighetskollen som finns när man räknat fram en normalsannolikhet. ![[lek08-normal-68-95-997.png|560]] --- ## 3. Varför den dyker upp överallt Normalfördelningen är inte vanlig för att naturen råkar tycka om klockkurvor, utan för att den är en **gränsfördelning**: summerar man många oberoende bidrag går resultatet mot en normalfördelning oavsett hur de enskilda bidragen är fördelade. Det är innehållet i [[Centrala gränsvärdessatsen|centrala gränsvärdessatsen]], och det är därför mätfel, längder och brus så ofta modelleras normalt. | Situation | Vad som händer | |---|---| | Summa av många oberoende termer | Går mot normalfördelning — [[Centrala gränsvärdessatsen]] | | [[Binomialfördelning\|Binomial]] med $np(1-p)\ge 10$ | Approximeras av $N\big(np,\ \sqrt{np(1-p)}\big)$ | | [[Poissonfördelning]] med stort $\lambda$ | Approximeras av $N(\lambda,\ \sqrt{\lambda})$ | | [[Linjära funktioner av stokastiska variabler\|Linjärkombination]] av oberoende normalfördelade | Är exakt normalfördelad — se [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]] | > [!tip] Den bevarar sig själv > Att en summa av normalfördelade variabler *själv* är normalfördelad är ovanligt bland fördelningar och gör räkningarna lätta: det räcker att hålla reda på väntevärde och standardavvikelse, så är hela fördelningen känd. --- ## 4. Två dimensioner ![[Pasted image 20260427092531.png|500]] Gaussisk funktion över en tvådimensionell [[Domän|domän]]. *Bild från Wikipedia.* Med två variabler samtidigt bestäms fördelningen av två väntevärden, två standardavvikelser och korrelationen mellan variablerna — se [[Tvådimensionell normalfördelning]]. --- ## 5. Lösta lektionsuppgifter > [!example]- Exempel — sannolikheten för en avvikelse uppåt > Längden hos en population är normalfördelad med $\mu=170$ cm och $\sigma=10$ cm. Hur stor andel är längre än $185$ cm? > > > [!note]- Lösning > > **Setup.** Vi söker $P(\xi>185)$ där $\xi\in N(170,\,10)$. Standardisera först. > > > > **Räkningen.** > > $$ > > P(\xi>185)=1-\Phi\!\left(\dfrac{185-170}{10}\right)=1-\Phi(1{,}5)=1-0{,}9332=\boxed{0{,}0668} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** $185$ cm ligger $1{,}5$ standardavvikelser över medelvärdet. Enligt $68$–$95$-regeln ligger $16\ \%$ ovanför $1\sigma$ och $2{,}5\ \%$ ovanför $2\sigma$, så svaret ska hamna mellan dessa. Knappt $7\ \%$ gör det. > > > > **På räknaren.** `normCdf(185,∞,170,10)`. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!example]- Lektion 7, övning 5 — Gångtid till universitetet > Gångtiden $\xi$ (minuter) vintertid mellan hemmet och Luleå tekniska universitet för en viss statistiklärare är normalfördelad med $\mu = 18$ och $\sigma = 1{,}5$. Beräkna sannolikheten att gångtiden en slumpmässigt vald vinterdag understiger 16 minuter. > > > [!note]- Lösning > > $\xi\in N(18,\ 1{,}5)$. Den sökta sannolikheten är den skuggade svansen: > > > > ![[lek07-gangtid.png|420]] > > > > Sats 4.2: > > $$ > > P(\xi < 16) = \Phi\!\left(\dfrac{16 - 18}{1{,}5}\right) = \Phi(-1{,}33) = 1 - \Phi(1{,}33) \approx 1 - 0{,}9082 \approx \boxed{0{,}09} > > $$ > > > > **Rimlighetskoll.** 16 minuter ligger $1{,}33$ standardavvikelser under medelvärdet — mellan $1\sigma$ ($16\ \%$ under) och $2\sigma$ ($2{,}5\ \%$ under). > > > > **På räknaren.** `normCdf(-∞,16,18,1.5)` — bocka i **Draw** så ritas den skuggade svansen. > > > > *Facit: 0,09.* > [!example]- Lektion 7, övning 7 (Vännman 4.29) — Symmetri kring $\mu$ > Låt $\xi\in N(\mu,\sigma)$. Beräkna > > a) $P(\xi < \mu)$, > > b) $P(\xi < \mu - \sigma)$, > > c) $P(\xi > \mu + \sigma)$, > > d) $P(\xi < \mu - 2\sigma)$, > > e) $P(\xi > \mu + 2\sigma)$. > > Diskutera vad resultaten säger om $\mu$ och $\sigma$ för en symmetrisk fördelning. > > > [!note]- Lösning > > Standardisera med $\eta = (\xi-\mu)/\sigma \in N(0,1)$. > > > > **a)** Kurvan är symmetrisk kring $\mu$, så hälften av massan ligger till vänster: > > $$ > > P(\xi < \mu) = \Phi(0) = \boxed{0{,}5} > > $$ > > > > **b)** > > $$ > > P(\xi < \mu - \sigma) = P(\eta < -1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = \boxed{0{,}1587} > > $$ > > > > **c)** Samma svans på andra sidan: > > $$ > > P(\xi > \mu + \sigma) = P(\eta > 1) = \boxed{0{,}1587} > > $$ > > > > **d)** och **e)** På samma sätt: > > $$ > > P(\xi < \mu - 2\sigma) = P(\xi > \mu + 2\sigma) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0{,}9772 = \boxed{0{,}0228} > > $$ > > > > **Tolkning.** $\mu$ är symmetricentrum och delar massan mitt itu. $\sigma$ är en naturlig längdskala: ungefär $16\ \%$ av massan ligger mer än en standardavvikelse ut åt varje håll, och drygt $2\ \%$ mer än två. > > > > *Uppgiften (Vännman 4.29) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaren stämmer med det.* > [!example]- Lektion 8, övning 1 — Inom en och tre standardavvikelser > Antag att $\xi\in N(\mu,\sigma)$. Beräkna > > a) $P(\mu - \sigma < \xi < \mu + \sigma)$, > > b) $P(\mu - 3\sigma < \xi < \mu + 3\sigma)$. > > Tolka i ord betydelsen av $\sigma$ i normalfördelningen med hjälp av sannolikheterna. > > > [!note]- Lösning > > Efter standardisering beror svaren inte på $\mu$ och $\sigma$: > > > > **a)** > > $$ > > P(-1 < \eta < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 \approx 2\cdot0{,}8413 - 1 = \boxed{0{,}683} > > $$ > > > > **b)** > > $$ > > P(-3 < \eta < 3) = 2\Phi(3) - 1 \approx 2\cdot0{,}99865 - 1 = \boxed{0{,}997} > > $$ > > > > **Tolkning.** Ungefär två tredjedelar av alla observationer hamnar inom en standardavvikelse från väntevärdet, och praktiskt taget alla inom tre. Ett värde mer än $3\sigma$ från $\mu$ är så ovanligt att det bör väcka misstanke om att modellen inte stämmer. > > > > **På räknaren.** `normCdf(-1,1)` och `normCdf(-3,3)`. > > > > *Facit: a) 0,683, b) 0,997.* --- ## Se även - [[Standardiserad normalfördelning]] - [[Kontinuerliga stokastiska variabler]] - [[Linjära funktioner av stokastiska variabler]] - [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]] - [[Centrala gränsvärdessatsen]] - [[Tvådimensionell normalfördelning]] ## Resurser - [3Blue1Brown: But what is the Central Limit Theorem?](https://youtu.be/zeJD6dqJ5lo) — varför just den här kurvan dyker upp överallt - [Khan Academy: Normal distributions](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/modeling-distributions-of-data/normal-distributions-library) - [Wikipedia: Normalfördelning](https://sv.wikipedia.org/wiki/Normalf%C3%B6rdelning) --- ← [[Exponentialfördelning]] · [[S0008M]] · [[Standardiserad normalfördelning]] →