Hypotesprövning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Konfidensintervall

---

Vid hypotesprövning ställer vi upp en nollhypotes och prövar om stickprovet talar tillräckligt starkt emot den. Signifikansnivån anger hur stor risk vi accepterar att förkasta en nollhypotes som i själva verket är sann.

---

1. Noll- och mothypotes

Ett test är en beslutsregel för att välja mellan två påståenden om en okänd parameter, till exempel väntevärdet $\mu$:

• Nollhypotesen $H_0$ är det “ingenting har hänt”-läge vi utgår från, till exempel $H_0:\mu ={\mu }_0$.
• Mothypotesen $H_1$ är det vi vill kunna påvisa, till exempel $H_1:\mu >{\mu }_0$.

Det vi vill visa läggs i mothypotesen

Testet är byggt så att vi försöker förkasta $H_0$ med en liten felrisk. Kan vi förkasta $H_0$ har vi påvisat $H_1$, och vi har gjort det på ett sätt där risken att ha fel är liten om $H_0$ skulle vara sann. Kan vi inte förkasta $H_0$ har vi inte bevisat $H_0$ — vi har bara inte tillräckligt starka belägg mot den.

---

2. Testvariabel och kritiskt område

Testet bygger på en testvariabel, ett tal vi räknar ut ur stickprovet. För hypoteser om $\mu$ i en normalfördelning är det naturligt att använda medelvärdet $\bar{x}$, eller en standardiserad variant av det.

Vi bestämmer i förväg ett kritiskt område: de värden på testvariabeln som talar så starkt emot $H_0$ att vi förkastar den. Gränsen kallas den kritiska gränsen $k$. Med $H_1:\mu >{\mu }_0$ blir testet

$$\text{fo¨rkasta }{H}_0\text{ om }\bar{x}>k$$

Var $k$ hamnar bestäms av signifikansnivån, se Signifikansnivå och styrka.

---

3. Två sorters fel

Beslutet kan bli fel på två sätt:

	$H_0$ sann	$H_0$ falsk
Förkasta $H_0$	fel av första slaget, sannolikhet $\alpha$	rätt beslut, sannolikhet = styrkan
Förkasta inte $H_0$	rätt beslut	fel av andra slaget

Signifikansnivån $\alpha$ är sannolikheten för fel av första slaget, $P(\text{fo¨rkasta }{H}_0\mid H_0\text{ sann})$. Vi väljer den själva i förväg, typiskt $5\%$ eller $1\%$. Styrkan är sannolikheten att förkasta $H_0$ när den är falsk, alltså att upptäcka en verklig avvikelse.

---

4. Arbetsgång

Så ställer vi upp ett test

1. Modellantaganden. Inför och definiera de stokastiska variablerna och ange deras fördelning, till exempel ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$, oberoende, $i=1,\dots ,n$.
2. Hypoteser. $H_0$ och $H_1$, med det vi vill visa i $H_1$.
3. Testvariabel och strategi. Välj testvariabel och bestäm det kritiska området utifrån $\alpha$: “förkasta $H_0$ om …“.
4. Slutsats. Stoppa in observationerna och formulera slutsatsen i ord, med signifikansnivån.

Vilken testvariabel och vilket kritiskt område som gäller beror på hypoteserna: Enkla hypoteser har ett enda värde i varje hypotes, Sammansatta hypoteser har ett helt intervall i mothypotesen. I stället för en kritisk gräns kan vi också använda Direktmetoden, och testet kan kopplas direkt till ett konfidensintervall.

På räknaren: Stat Tests

menu → Statistics → Stat Tests har färdiga test för kursens situationer. Välj Alternate Hyp så att den stämmer med $H_1$ ($\mu \ne {\mu }_0$, $\mu <{\mu }_0$ eller $\mu >{\mu }_0$).

Situation	Test
$\mu$, känt $\sigma$	z Test
$\mu$, okänt $\sigma$	t Test
${\mu }_1-{\mu }_2$, två stickprov med samma $\sigma$	2-Sample t Test, Pooled: Yes
$\mu$ för differenser, stickprov i par	t Test på differenslistan
$p$ i en binomialfördelning (normalapproximation)	1-Prop z Test

Räknaren svarar med testvariabeln (z eller t) och PVal, alltså direktmetodens ${\alpha }_0$. Den ger ingen kritisk gräns $k$ och ingen styrka — dem räknar vi själva med invNorm/invt och normCdf. Steg 1, 2 och 4 i arbetsgången ovan ska skrivas ut på tentan oavsett.

Exempel — Fyller maskinen för mycket?

Påsfyllningen i Statistisk inferens: ${\xi }_i\in N(\mu ,4)$ oberoende, $n=9$ och $\bar{x}=502,9$ g. Pröva på nivån $5\%$ om maskinen fyller mer än $500$ g i genomsnitt.

Lösning

1. Modell. ${\xi }_i$ = vikten hos påse $i$, ${\xi }_i\in N(\mu ,4)$ oberoende, $i=1,\dots ,9$.

2. Hypoteser. $H_0:\mu =500$ mot $H_1:\mu >500$.

3. Testvariabel och strategi. Om $H_0$ är sann är $\bar{\xi }\in N(500,4/3)$. Förkasta $H_0$ om $\bar{x}>k$, där

$$k=500+{\lambda }_{0,05}\cdot \frac{4}{3}=500+1,6449\cdot 1,333\approx 502,19$$

4. Slutsats. $\bar{x}=502,9>502,19$, så $H_0$ förkastas på nivån $5\%$. Maskinen fyller signifikant mer än $500$ g.

Med direktmetoden blir ${\alpha }_0=P(\bar{\xi }\ge 502,9\mid \mu =500)=1-\Phi (2,175)\approx 0,015<0,05$, samma beslut.

På räknaren. Stat Tests → z Test med ${\mu }_0=500$, $\sigma =4$, $\bar{x}=502,9$, $n=9$ och Alternate Hyp $\mu >{\mu }_0$: z $\approx 2,175$, PVal $\approx 0,0148$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• Det man vill visa i $H_0$. Det som ska påvisas hör hemma i $H_1$; $H_0$ är det vi försöker förkasta.
• “Vi har visat $H_0$.” Att inte förkasta $H_0$ betyder bara att beläggen inte räckte.
• Välja $H_1$ efter att ha sett data. Riktningen ska bestämmas av frågan, inte av vilken sida $\bar{x}$ hamnade på.
• Ensidigt eller tvåsidigt. $H_1:\mu \ne {\mu }_0$ kräver ${\lambda }_{\alpha /2}$, ensidiga $H_1$ kräver ${\lambda }_{\alpha }$.

---

Se även

• Konfidensintervall
• Enkla hypoteser
• Signifikansnivå och styrka
• Sammansatta hypoteser
• Direktmetoden
• Konfidensintervall och hypotesprövning

Resurser

• Khan Academy: Significance tests (hypothesis testing)
• Wikipedia: Hypotesprövning

---

← Två stickprov · S0008M · Enkla hypoteser →