--- kurs: - S0008M tags: - matematik - statistik - metod förkunskaper: - "[[Konfidensintervall]]" status: utkast aliases: - Hypotestest - Test - Nollhypotes - Mothypotes - Fel av första slaget - Fel av andra slaget --- > **Kurs:** S0008M > **Förkunskaper:** [[Konfidensintervall]] --- Vid hypotesprövning ställer vi upp en nollhypotes och prövar om stickprovet talar tillräckligt starkt emot den. Signifikansnivån anger hur stor risk vi accepterar att förkasta en nollhypotes som i själva verket är sann. --- ## 1. Noll- och mothypotes Ett test är en beslutsregel för att välja mellan två påståenden om en okänd parameter, till exempel väntevärdet $\mu$: - **Nollhypotesen** $H_0$ är det "ingenting har hänt"-läge vi utgår från, till exempel $H_0:\ \mu = \mu_0$. - **Mothypotesen** $H_1$ är det vi vill kunna påvisa, till exempel $H_1:\ \mu > \mu_0$. > [!important] Det vi vill visa läggs i mothypotesen > Testet är byggt så att vi försöker **förkasta** $H_0$ med en liten felrisk. Kan vi förkasta $H_0$ har vi påvisat $H_1$, och vi har gjort det på ett sätt där risken att ha fel är liten om $H_0$ skulle vara sann. Kan vi inte förkasta $H_0$ har vi inte bevisat $H_0$ — vi har bara inte tillräckligt starka belägg mot den. --- ## 2. Testvariabel och kritiskt område Testet bygger på en **testvariabel**, ett tal vi räknar ut ur stickprovet. För hypoteser om $\mu$ i en normalfördelning är det naturligt att använda medelvärdet $\bar x$, eller en standardiserad variant av det. Vi bestämmer i förväg ett **kritiskt område**: de värden på testvariabeln som talar så starkt emot $H_0$ att vi förkastar den. Gränsen kallas den **kritiska gränsen** $k$. Med $H_1:\ \mu > \mu_0$ blir testet $$ \text{förkasta } H_0 \text{ om } \bar x > k $$ Var $k$ hamnar bestäms av signifikansnivån, se [[Signifikansnivå och styrka]]. --- ## 3. Två sorters fel Beslutet kan bli fel på två sätt: | | $H_0$ sann | $H_0$ falsk | |---|---|---| | **Förkasta $H_0$** | fel av första slaget, sannolikhet $\alpha$ | rätt beslut, sannolikhet = styrkan | | **Förkasta inte $H_0$** | rätt beslut | fel av andra slaget | **Signifikansnivån** $\alpha$ är sannolikheten för fel av första slaget, $P(\text{förkasta } H_0 \mid H_0 \text{ sann})$. Vi väljer den själva i förväg, typiskt $5\ \%$ eller $1\ \%$. **Styrkan** är sannolikheten att förkasta $H_0$ när den är falsk, alltså att upptäcka en verklig avvikelse. --- ## 4. Arbetsgång > [!tip] Så ställer vi upp ett test > 1. **Modellantaganden.** Inför och definiera de stokastiska variablerna och ange deras fördelning, till exempel $\xi_i \in N(\mu,\sigma)$, oberoende, $i = 1,\dots,n$. > 2. **Hypoteser.** $H_0$ och $H_1$, med det vi vill visa i $H_1$. > 3. **Testvariabel och strategi.** Välj testvariabel och bestäm det kritiska området utifrån $\alpha$: "förkasta $H_0$ om …". > 4. **Slutsats.** Stoppa in observationerna och formulera slutsatsen i ord, med signifikansnivån. Vilken testvariabel och vilket kritiskt område som gäller beror på hypoteserna: [[Enkla hypoteser]] har ett enda värde i varje hypotes, [[Sammansatta hypoteser]] har ett helt intervall i mothypotesen. I stället för en kritisk gräns kan vi också använda [[Direktmetoden]], och testet kan kopplas direkt till ett [[Konfidensintervall och hypotesprövning|konfidensintervall]]. > [!tip]- På räknaren: Stat Tests > `menu` → **Statistics** → **Stat Tests** har färdiga test för kursens situationer. Välj **Alternate Hyp** så att den stämmer med $H_1$ ($\mu \ne \mu_0$, $\mu < \mu_0$ eller $\mu > \mu_0$). > > | Situation | Test | > |---|---| > | $\mu$, känt $\sigma$ | z Test | > | $\mu$, okänt $\sigma$ | t Test | > | $\mu_1 - \mu_2$, två stickprov med samma $\sigma$ | 2-Sample t Test, **Pooled: Yes** | > | $\mu$ för differenser, stickprov i par | t Test på differenslistan | > | $p$ i en binomialfördelning (normalapproximation) | 1-Prop z Test | > > Räknaren svarar med testvariabeln (`z` eller `t`) och `PVal`, alltså [[Direktmetoden|direktmetodens]] $\alpha_0$. Den ger ingen kritisk gräns $k$ och ingen styrka — dem räknar vi själva med `invNorm`/`invt` och `normCdf`. Steg 1, 2 och 4 i arbetsgången ovan ska skrivas ut på tentan oavsett. > [!example]- Exempel — Fyller maskinen för mycket? > Påsfyllningen i [[Statistisk inferens]]: $\xi_i\in N(\mu,\ 4)$ oberoende, $n = 9$ och $\bar x = 502{,}9$ g. Pröva på nivån $5\ \%$ om maskinen fyller mer än $500$ g i genomsnitt. > > > [!note]- Lösning > > **1. Modell.** $\xi_i$ = vikten hos påse $i$, $\xi_i\in N(\mu,\ 4)$ oberoende, $i = 1,\dots,9$. > > > > **2. Hypoteser.** $H_0:\ \mu = 500$ mot $H_1:\ \mu > 500$. > > > > **3. Testvariabel och strategi.** Om $H_0$ är sann är $\bar\xi\in N(500,\ 4/3)$. Förkasta $H_0$ om $\bar x > k$, där > > $$ > > k = 500 + \lambda_{0{,}05}\cdot\dfrac{4}{3} = 500 + 1{,}6449\cdot 1{,}333 \approx 502{,}19 > > $$ > > > > **4. Slutsats.** $\bar x = 502{,}9 > 502{,}19$, så $H_0$ **förkastas** på nivån $5\ \%$. Maskinen fyller signifikant mer än $500$ g. > > > > ![[hypotesprovning-kritiskt-omrade.png|520]] > > > > Med [[Direktmetoden|direktmetoden]] blir $\alpha_0 = P(\bar\xi\ge 502{,}9\mid\mu = 500) = 1 - \Phi(2{,}175)\approx 0{,}015 < 0{,}05$, samma beslut. > > > > **På räknaren.** Stat Tests → z Test med $\mu_0 = 500$, $\sigma = 4$, $\bar x = 502{,}9$, $n = 9$ och Alternate Hyp $\mu > \mu_0$: `z` $\approx 2{,}175$, `PVal` $\approx 0{,}0148$. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* > [!warning] Vanliga fel > - **Det man vill visa i $H_0$.** Det som ska påvisas hör hemma i $H_1$; $H_0$ är det vi försöker förkasta. > - **"Vi har visat $H_0$."** Att inte förkasta $H_0$ betyder bara att beläggen inte räckte. > - **Välja $H_1$ efter att ha sett data.** Riktningen ska bestämmas av frågan, inte av vilken sida $\bar x$ hamnade på. > - **Ensidigt eller tvåsidigt.** $H_1:\ \mu\ne\mu_0$ kräver $\lambda_{\alpha/2}$, ensidiga $H_1$ kräver $\lambda_\alpha$. --- ## Se även - [[Konfidensintervall]] - [[Enkla hypoteser]] - [[Signifikansnivå och styrka]] - [[Sammansatta hypoteser]] - [[Direktmetoden]] - [[Konfidensintervall och hypotesprövning]] ## Resurser - [Khan Academy: Significance tests (hypothesis testing)](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/significance-tests-one-sample) - [Wikipedia: Hypotesprövning](https://sv.wikipedia.org/wiki/Hypotespr%C3%B6vning) --- ← [[Två stickprov]] · [[S0008M]] · [[Enkla hypoteser]] →