Harmonisk våg

Kurs: F0005T Förkunskaper: Svängning, Vågrörelse, Trigonometri

---

En harmonisk våg har formen av en sinus- eller cosinusfunktion och förflyttar sig utan att ändra form. Den beskrivs av $y(x,t)=A\sin (kx-\omega t+\alpha )$, där tecknet framför $\omega t$ avgör utbredningsriktningen: minus ger en våg åt höger, plus en våg åt vänster.

---

1. Att beskriva en våg matematiskt

Ser vi bara på en enda punkt i mediet är utslaget en funktion av tiden,

$$y=f(t)$$

men det räcker inte — en våg är utsträckt i rummet också. Vi behöver en funktion av både läge och tid. Nyckelidén är att en våg som rör sig med oförändrad form beror på $x$ och $t$ bara genom kombinationen

$$y=f(x-vt)$$

Fysika: Fc1 (i formen $s=f(x-vt)+g(x+vt)$)

---

2. Vågor som rör sig åt höger och vänster

Argumentet $x-vt$ är konstant längs en punkt som förflyttar sig med hastigheten $v$ åt höger. Formen

$$y=f(x-vt)$$

beskriver därför en högergående våg. Byter vi tecken,

$$y=f(x+vt)$$

krävs istället att $x$ minskar när $t$ växer. Alltså:

$$f(x-vt)\to \text{va˚g a˚t ho¨ger}$$

$$f(x+vt)\to \text{va˚g a˚t va¨nster}$$

Funktionen $f$ är själva vågformen och kan i princip vara vad som helst; det är argumentet som bestämmer riktningen.

Samma vågform vid $t=0$ och vid tiden $t$, flyttad sträckan $vt$ åt höger. Punkten $x_0+vt$ har nu det utslag som $x_0$ hade, eftersom båda ger samma värde på $x-vt$.

---

3. Harmonisk våg

Väljer vi $f$ som en sinus får vi den harmoniska vågen:

$$\boxed{y=A\sin \left(kx-\omega t+\alpha \right)}$$

Fysika: Fc1 (i formen $s=a\cos (\omega t\pm kx+\delta )$)

Här är $A$ amplituden, $k$ vågtalet, $\omega$ vinkelfrekvensen och $\alpha$ faskonstanten. Detta är standardformen och den vi utgår från i allt som följer.

---

4. Vågens egenskaper

Fyra storheter läses av direkt ur uttrycket. I rummet upprepar vågen sig efter en våglängd

$$\left(\lambda \right)$$

och i tiden efter en periodtid $T$, med frekvensen

$$f=\frac{1}{T}$$

Fysika: Fc1 (i formen $T=1/f$)

Amplituden $A$ sätter utslagets storlek och faskonstanten $\alpha$ förskjuter vågen i sidled. Sambandet mellan rums- och tidsstorheterna ger fashastigheten $v=\omega /k=\lambda f$.

Läsning

• 15.3 Mathematical Description of a Wave
• 15.2 Periodic Waves

Se även

• Vågrörelse
• Våglängd och vågtal
• Vinkelfrekvens och periodtid
• Fas och faskonstant
• Fashastighet och partikelhastighet

Resurser

• Wikipedia: Sinusoidal plane wave

---

← Svängning · F0005T · Våglängd och vågtal →