Allmän rörelse

Kurs: F0006T Förkunskaper: Kinematik, Rotation

---

En stel kropps allmänna rörelse kan delas upp i translation av masscentrum plus rotation kring masscentrum.

$${\vec{v}}_P={\vec{v}}_{cm}+\vec{\omega }\times {\vec{r}}_{P/cm}$$

Kinetisk energi

$$\boxed{K=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2}$$

Beskrivning:

• $K_{tr}=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2=\text{translationenergi fo¨r masscentrum}$
• $K_{rot}=\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2=\text{Rotationsenergi kring masscentrum}$
• $K=\text{Total Energi}$

---

Exempel - Rullning utan glidning

Exempel: rullande hjul utan glidning

Kontaktpunkt har momentan hastighet $0$; masscentrum $v_{cm}=\omega R$.

Bilden visar rörelsen hos ett rullande hjul är summan av den translationella rörelsen för masscentrum och hjulets rotationsrörelse runt masscentrum.

DEMO - Elfgrens birre

Demo

Erik elfgren rullar ner 3 norrlands guld för ett lutande plan $\varphi \approx 15°$, De är fyllda med:

• Sand 50%
• Öl 100%
• Luft 100%

Den med öl rullar ner snabbast, sedan den tomma, sedan den med sant

Tom:

$0,57g\times \sin \varphi$

Sandfylld:

$m\approx m_s$ där $m_s$ är massa hos sanden Antag homogen cylinder efter som den följer med rotationen $I_{B,cm}=\frac{m_s{R}^2}{2}$ $A_{B,cm}=\frac{g\times \sin \varphi }{\frac{\left(\frac{M_s{R}^2}{2}\right)}{m_s{R}^2}+1}$ Ölfylld: $M=M_{\ddot{o}l}+M_b$ antag $M_{\ddot{o}l}=24M_b$ och att ölet ej roterar $⟹I_{c,cm}=I_{A,cm}$

$a_{c,cm}=0,97g\times \varphi$

(liten kula $⟹I_{cm}=0⟹a_{cm}=g\times \sin \varphi$ )

Arbete och effekt vid rotation

En kraft $\vec{F}$ som verkar tangentiellt på en roterande stel kropp på avståndet $R$ från rotationsaxeln ger upphov till ett vridmoment $\tau =F_{t}R$. Eftersom båglängden $ds=Rd\theta$ blir det utförda arbetet

$$W_{rot}=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}=\int F_{t}ds=\int \tau d\theta$$

Om $\tau$ är konstant förenklas detta till

$$W_{rot}=\tau \Delta \theta$$

Med momentekvationen $\tau =I\alpha$ och kedjeregeln $\alpha d\theta =\frac{d\omega }{dt}d\theta =\omega d\omega$ får vi

$$W_{rot}=\int I\alpha d\theta =\int I\omega d\omega$$

För en kropp med konstant tröghetsmoment $I$ ger detta arbets-energiprincipen för rotation:

$$\boxed{W_{rot}=\frac{1}{2}I({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)=\Delta K_{rot}}$$

vilket är rotationens analogi till translationsfallet $W_{tr}=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)=\Delta K_{tr}$.

Effekt

Momentan effekt fås genom att derivera arbetet med avseende på tiden:

$$P_{rot}=\frac{d{W}_{rot}}{dt}=\tau \frac{d\theta }{dt}$$ $$\boxed{P_{rot}=\tau \omega }$$

Detta är rotationens motsvarighet till $P_{tr}=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

Läsning

• 10.3 Rigid-Body Rotation About a Moving Axis

Se även

• Rotation
• Rotationsmekanik
• Masscentrum
• Momentancentrum