Allmän rörelse

Kurs: F0006T Förkunskaper: Kinematik, Rotation

---

1. Rörelseuppdelning

En stel kropps allmänna rörelse kan delas upp i translation av masscentrum plus rotation kring masscentrum:

$$\boxed{{\vec{v}}_P={\vec{v}}_{cm}+\vec{\omega }\times {\vec{r}}_{P/cm}}$$

---

2. Kinetisk energi

$$\boxed{K=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2+\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2}$$

• $K_{tr}=\frac{1}{2}M{v}_{cm}^2$ — translationsenergi för masscentrum
• $K_{rot}=\frac{1}{2}{I}_{cm}{\omega }^2$ — rotationsenergi kring masscentrum

Exempel — rullning utan glidning

Kontaktpunkten har momentan hastighet $0$; masscentrum rör sig med $v_{cm}=\omega R$.

Bilden visar att rörelsen hos ett rullande hjul är summan av den translationella rörelsen för masscentrum och hjulets rotation kring masscentrum.

Demo — Elfgrens birre

Erik Elfgren rullar ner tre Norrlands Guld för ett lutande plan $\varphi \approx 15°$. De är fyllda med:

• Sand 50 %
• Öl 100 %
• Luft 100 %

Den med öl rullar ner snabbast, sedan den tomma, sedan den med sand.

Tom:

$a_{A,cm}=0,57g\sin \varphi$

Sandfylld:

$m\approx m_s$ där $m_s$ är sandens massa. Antag homogen cylinder eftersom sanden följer med rotationen: $I_{B,cm}=\frac{m_s{R}^2}{2}$ $A_{B,cm}=\frac{g\sin \varphi }{\frac{M_s{R}^2/2}{m_s{R}^2}+1}$

Ölfylld:

$M=M_{\ddot{o}l}+M_b$, antag $M_{\ddot{o}l}=24M_b$ och att ölet ej roterar $⟹I_{C,cm}=I_{A,cm}$

$a_{C,cm}=0,97g\sin \varphi$

(liten kula $⟹I_{cm}=0⟹a_{cm}=g\sin \varphi$)

---

3. Arbete och effekt vid rotation

En kraft $\vec{F}$ som verkar tangentiellt på en roterande stel kropp på avståndet $R$ från rotationsaxeln ger vridmomentet $\tau =F_{t}R$. Eftersom båglängden $ds=Rd\theta$ blir arbetet

$$W_{rot}=\int \vec{F}\cdot d\vec{s}=\int F_{t}ds=\int \tau d\theta$$

Med momentekvationen $\tau =I\alpha$ och kedjeregeln $\alpha d\theta =\omega d\omega$ ger detta arbets-energiprincipen för rotation:

$$\boxed{W_{rot}=\frac{1}{2}I({\omega }_2^2-{\omega }_1^2)=\Delta K_{rot}}$$

Rotationens analogi till $W_{tr}=\frac{1}{2}m(v_2^2-v_1^2)=\Delta K_{tr}$.

Momentan effekt:

$$\boxed{P_{rot}=\tau \omega }$$

Rotationens motsvarighet till $P_{tr}=\vec{F}\cdot \vec{v}$.

Läsning

• 10.3 Rigid-Body Rotation About a Moving Axis

Se även

• Rotation
• Rotationsmekanik
• Masscentrum
• Momentancentrum