---
kurs:
  - F0006T
tags:
  - fysik
  - mekanik
  - rotation
förkunskaper:
  - "[[Kinematik]]"
  - "[[Rotation]]"
status: true
aliases:
  - Rotation och translation
---
> **Kurs:** F0006T
> **Förkunskaper:** [[Kinematik]], [[Rotation]]

---

En stel kropps allmänna rörelse kan delas upp i **translation** av masscentrum plus **rotation** kring masscentrum.

$$
\vec v_P=\vec v_{cm}+\vec\omega\times\vec r_{P/cm}
$$

## Kinetisk energi

$$
\boxed{K=\tfrac{1}{2}M v_{cm}^2+\tfrac{1}{2}I_{cm}\omega^2}
$$

**Beskrivning:**
- $K_{tr}=\tfrac{1}{2}M v_{cm}^2=\text{translationenergi för masscentrum}$
- $K_{rot}=\tfrac{1}{2}I_{cm}\omega^2=\text{Rotationsenergi kring masscentrum}$
- $K=\text{Total Energi}$

---

> [!example]- Exempel - Rullning utan glidning
> Exempel: rullande hjul utan glidning
> 
> Kontaktpunkt har momentan hastighet $0$; masscentrum $v_{cm}=\omega R$.
> 
> Bilden visar rörelsen hos ett rullande hjul är summan av den translationella rörelsen för masscentrum och hjulets rotationsrörelse runt masscentrum.
> ![[Pasted image 20260427131530.png]]
> 

> [!example]- DEMO - Elfgrens birre
> Demo
> 
> Erik elfgren rullar ner 3 norrlands guld för ett  lutande plan $\phi\approx 15\degree$, De är fyllda med:
> - Sand 50% 
> - Öl 100%
> - Luft 100%
> 
> Den med öl rullar ner snabbast, sedan den tomma, sedan den med sant
> 
> Tom: 
> 
> $0,57g\times \sin \phi$
> 
> Sandfylld:
> 
> $m\approx m_{s}$ där $m_{s}$ är massa hos sanden
> Antag homogen cylinder efter som den följer med rotationen
> $I_{B,cm}=\frac{m_{s}R^2}{2}$ 
> $$A_{B,cm}=\frac{g\times \sin \phi}{\frac{\left( \frac{M_{s}R^2}{2} \right)}{m_{s}R^2}+1}$$
> Ölfylld:
> $M=M_{öl}+M_{b}$ antag $M_{öl}=24M_{b}$ och att ölet ej roterar $\implies I_{c,cm}=I_{A,cm}$
> 
> $a_{c,cm}=0,97g\times \phi$
> 
> (liten kula $\implies I_{cm}=0\implies a_{cm}=g\times \sin \phi$ )
> 
> ![[Pasted image 20260427140812.png]]


## Arbete och effekt vid rotation

En kraft $\vec F$ som verkar tangentiellt på en roterande stel kropp på avståndet $R$ från rotationsaxeln ger upphov till ett vridmoment $\tau=F_{t}R$. Eftersom båglängden $ds=R\,d\theta$ blir det utförda arbetet

$$
W_{rot}=\int \vec F\cdot d\vec s=\int F_{t}\,ds=\int \tau\,d\theta
$$

Om $\tau$ är konstant förenklas detta till

$$
W_{rot}=\tau\,\Delta\theta
$$

Med [[Momentekvationen|momentekvationen]] $\tau=I\alpha$ och kedjeregeln $\alpha\,d\theta=\dfrac{d\omega}{dt}d\theta=\omega\,d\omega$ får vi

$$
W_{rot}=\int I\alpha\,d\theta=\int I\omega\,d\omega
$$

För en kropp med konstant tröghetsmoment $I$ ger detta **arbets-energiprincipen för rotation**:

$$
\boxed{\,W_{rot}=\tfrac{1}{2}I\bigl(\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}\bigr)=\Delta K_{rot}\,}
$$

vilket är rotationens analogi till translationsfallet $W_{tr}=\tfrac{1}{2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=\Delta K_{tr}$.

### Effekt

Momentan effekt fås genom att derivera arbetet med avseende på tiden:

$$
P_{rot}=\frac{dW_{rot}}{dt}=\tau\,\frac{d\theta}{dt}
$$

$$
\boxed{\,P_{rot}=\tau\,\omega\,}
$$

Detta är rotationens motsvarighet till $P_{tr}=\vec F\cdot \vec v$.

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=338|10.3 Rigid-Body Rotation About a Moving Axis]]

## Se även

- [[Rotation]]
- [[Rotationsmekanik]]
- [[Masscentrum]]
- [[Momentancentrum]]