Utfallsrum och händelser

Kurs: S0008M Förkunskaper: Mängdlära

---

Utfallsrummet är mängden av alla möjliga utfall i ett slumpförsök. En händelse är en delmängd av utfallsrummet, alltså en samling utfall som vi vill tilldela en sannolikhet.

---

1. Slumpförsök och utfallsrum

Ett slumpmässigt försök är ett försök vars resultat vi inte kan förutsäga med säkerhet. Mängden av alla tänkbara utfall kallas utfallsrummet och betecknas $\Omega$.

Köper vi tre maskiner och noterar för var och en om den fungerar (F) eller inte (O) efter sex månader är

$$\Omega =\{FFF,FFO,FOF,FOO,OFF,OFO,OOF,OOO\}$$

Utfallsrummet delas in efter hur många utfall det har:

Typ	Utfall	Exempel
Diskret	ändligt eller uppräkneligt många	tre maskiner ovan; antal pulser per 5 s, $\Omega =\{0,1,2,\dots \}$
Kontinuerligt	ett eller flera intervall	kraften i ett balkstöd, $\Omega =\{x\mid 0\le x\le 100\}$

Typen avgör hur vi räknar sannolikheter längre fram: summor i det diskreta fallet, integraler i det kontinuerliga.

---

2. Händelser

En händelse är en delmängd av $\Omega$ och betecknas med stor bokstav, $A$, $B$, $C$. Att ”$A$ inträffar” betyder att utfallet hamnar i $A$. Att exakt en av de tre maskinerna fungerar är till exempel

$$A=\{FOO,OFO,OOF\}$$

---

3. Mängdoperationer på händelser

Händelser kombineras med mängdoperationer:

Beteckning	Namn	Inträffar när
$A^c$	komplementhändelse	$A$ inte inträffar
$A\cup B$	union	$A$ eller $B$ eller båda inträffar
$A\cap B$	snitt	både $A$ och $B$ inträffar
$A\cap B=\varnothing$	disjunkta händelser	$A$ och $B$ kan inte inträffa samtidigt

Rita figur

Nästan varje uppgift med två eller tre händelser blir enklare med ett mängddiagram. Händelsen “exakt en av $A$ och $B$” är svår att skriva direkt, men i figuren syns den som $(A\cap B^c)\cup (B\cap A^c)$ — de två månskärorna utanför snittet.

Hur vi sätter sannolikheter på händelserna och räknar med dem beskrivs i Sannolikhetsmått.

Exempel — Två tärningar

Vi kastar en röd och en blå tärning. Låt $A$ = “summan är 7” och $B$ = “minst en sexa”.

a) Beskriv utfallsrummet. Hur många utfall har det?

b) Skriv upp $A$, $A\cap B$ och $B^c$. Hur många utfall har $A\cup B$?

Lösning

a) Ett utfall är ett par $(r,b)$ med röda tärningens resultat först:

$$\Omega =\{(r,b):r,b=1,\dots ,6\},|\Omega |=6\cdot 6=36$$

Att hålla isär tärningarna gör alla $36$ utfall lika sannolika. Räknar vi i stället summan som utfall, $\{2,\dots ,12\}$, är utfallen inte lika sannolika.

b)

$$A=\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\},A\cap B=\{(1,6),(6,1)\}$$

$B^c$ = “ingen sexa” = alla par med $r,b\le 5$, alltså $25$ utfall. Därmed har $B$ $36-25=11$ utfall, och

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=6+11-2=\boxed{15}$$

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• “Eller” betyder “minst en av”. $A\cup B$ inträffar också när båda inträffar. “Exakt en av” är en annan händelse, se tipset ovan.
• Välja ett utfallsrum där utfallen inte är lika sannolika och sedan räkna $g/m$. Summan av två tärningar har elva värden, men de är inte lika sannolika. Håll isär tärningarna.

---

Se även

• Mängdlära
• Sannolikhetsmått
• Klassiska sannolikhetsdefinitionen
• Betingad sannolikhet
• Stokastisk variabel

Resurser

• Khan Academy: Probability
• Wikipedia: Sample space

---

← Beskrivande statistik · S0008M · Sannolikhetsmått →