---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - grundbegrepp
förkunskaper:
  - "[[Mängdlära]]"
status: utkast
aliases:
  - Utfallsrum
  - Händelse
  - Utfallsrummet
  - Komplementhändelse
  - Disjunkta händelser
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Mängdlära]]

---

Utfallsrummet är mängden av alla möjliga utfall i ett slumpförsök. En händelse är en delmängd av utfallsrummet, alltså en samling utfall som vi vill tilldela en sannolikhet.

---

## 1. Slumpförsök och utfallsrum

Ett **slumpmässigt försök** är ett försök vars resultat vi inte kan förutsäga med säkerhet. Mängden av alla tänkbara utfall kallas **utfallsrummet** och betecknas $\Omega$.

Köper vi tre maskiner och noterar för var och en om den fungerar (F) eller inte (O) efter sex månader är

$$
\Omega = \{FFF,\ FFO,\ FOF,\ FOO,\ OFF,\ OFO,\ OOF,\ OOO\}
$$

Utfallsrummet delas in efter hur många utfall det har:

| Typ | Utfall | Exempel |
|---|---|---|
| **Diskret** | ändligt eller uppräkneligt många | tre maskiner ovan; antal pulser per 5 s, $\Omega = \{0,1,2,\dots\}$ |
| **Kontinuerligt** | ett eller flera intervall | kraften i ett balkstöd, $\Omega = \{x \mid 0 \le x \le 100\}$ |

Typen avgör hur vi räknar sannolikheter längre fram: summor i det diskreta fallet, integraler i det kontinuerliga.

---

## 2. Händelser

En **händelse** är en delmängd av $\Omega$ och betecknas med stor bokstav, $A$, $B$, $C$. Att "$A$ inträffar" betyder att utfallet hamnar i $A$. Att exakt en av de tre maskinerna fungerar är till exempel

$$
A = \{FOO,\ OFO,\ OOF\}
$$

---

## 3. Mängdoperationer på händelser

Händelser kombineras med [[Mängdlära|mängdoperationer]]:

| Beteckning | Namn | Inträffar när |
|---|---|---|
| $A^c$ | komplementhändelse | $A$ inte inträffar |
| $A\cup B$ | union | $A$ eller $B$ eller båda inträffar |
| $A\cap B$ | snitt | både $A$ och $B$ inträffar |
| $A\cap B = \emptyset$ | disjunkta händelser | $A$ och $B$ kan inte inträffa samtidigt |

![[handelser-mangdoperationer.png|640]]

> [!tip] Rita figur
> Nästan varje uppgift med två eller tre händelser blir enklare med ett mängddiagram. Händelsen "exakt en av $A$ och $B$" är svår att skriva direkt, men i figuren syns den som $(A\cap B^c)\cup(B\cap A^c)$ — de två månskärorna utanför snittet.

Hur vi sätter sannolikheter på händelserna och räknar med dem beskrivs i [[Sannolikhetsmått]].

> [!example]- Exempel — Två tärningar
> Vi kastar en röd och en blå tärning. Låt $A$ = "summan är 7" och $B$ = "minst en sexa".
>
> a) Beskriv utfallsrummet. Hur många utfall har det?
>
> b) Skriv upp $A$, $A\cap B$ och $B^c$. Hur många utfall har $A\cup B$?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Ett utfall är ett par $(r, b)$ med röda tärningens resultat först:
> > $$
> > \Omega = \{(r,b) : r, b = 1,\dots,6\}, \qquad |\Omega| = 6\cdot6 = 36
> > $$
> > Att hålla isär tärningarna gör alla $36$ utfall lika sannolika. Räknar vi i stället summan som utfall, $\{2,\dots,12\}$, är utfallen *inte* lika sannolika.
> >
> > **b)**
> > $$
> > A = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}, \qquad A\cap B = \{(1,6), (6,1)\}
> > $$
> > $B^c$ = "ingen sexa" = alla par med $r, b\le 5$, alltså $25$ utfall. Därmed har $B$ $36 - 25 = 11$ utfall, och
> > $$
> > |A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B| = 6 + 11 - 2 = \boxed{15}
> > $$
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!warning] Vanliga fel
> - **"Eller" betyder "minst en av".** $A\cup B$ inträffar också när båda inträffar. "Exakt en av" är en annan händelse, se tipset ovan.
> - **Välja ett utfallsrum där utfallen inte är lika sannolika** och sedan räkna $g/m$. Summan av två tärningar har elva värden, men de är inte lika sannolika. Håll isär tärningarna.

---

## Se även

- [[Mängdlära]]
- [[Sannolikhetsmått]]
- [[Klassiska sannolikhetsdefinitionen]]
- [[Betingad sannolikhet]]
- [[Stokastisk variabel]]

## Resurser

- [Khan Academy: Probability](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/probability-library)
- [Wikipedia: Sample space](https://en.wikipedia.org/wiki/Sample_space)

---

← [[Beskrivande statistik]] · [[S0008M]] · [[Sannolikhetsmått]] →