Konfidensintervall och hypotesprövning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Konfidensintervall, Sammansatta hypoteser

---

Ett tvåsidigt test av $H_0:\mu ={\mu }_0$ på signifikansnivån $\alpha$ förkastar nollhypotesen precis när ${\mu }_0$ inte ligger i konfidensintervallet för $\mu$ med konfidensgraden $1-\alpha$. Intervallet ger därmed testbeslutet för alla ${\mu }_0$ på en gång.

---

1. Sambandet

Låt $I_{\mu }$ vara ett konfidensintervall för $\mu$ med konfidensgrad $1-\alpha$. Då gäller:

$$\boxed{H_0:\mu ={\mu }_0\text{ fo¨rkastas mot }{H}_1:\mu \ne {\mu }_0\text{ pa˚ niva˚n }\alpha ⟺{\mu }_0\notin I_{\mu }}$$

Figuren visar två $95\%$-intervall för påsfyllningen ($\sigma =4$, $n=9$), $\bar{x}\pm 1,96\cdot 4/3$. Med $\bar{x}=502,9$ blir intervallet $[500,29,505,51]$; $500$ ligger utanför, så det tvåsidiga testet förkastar $H_0:\mu =500$. Med $\bar{x}=501,5$ blir det $[498,89,504,11]$, som innehåller $500$.

---

2. Varför

Ta fallet med okänd $\sigma$. Det tvåsidiga $t$-testet i Sammansatta hypoteser förkastar inte $H_0$ när

$$\left|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\right|\le t_{\alpha /2}(n-1)⟺\bar{x}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\le {\mu }_0\le \bar{x}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}$$

Högerledet säger exakt att ${\mu }_0$ ligger i konfidensintervallet. De två metoderna bygger på samma olikhet, bara löst för olika storheter.

Vad intervallet ger utöver testet

Testet svarar bara ja eller nej för ett enda ${\mu }_0$. Intervallet visar dessutom hur stor avvikelsen kan vara. Därför är det ofta mer informativt att redovisa intervallet.

Ensidiga test

Ett ensidigt test på nivån $\alpha$ svarar på samma sätt mot ett ensidigt konfidensintervall med konfidensgrad $1-\alpha$, till exempel $\mu \le \bar{x}+t_{\alpha }(n-1)s/\sqrt{n}$ för $H_1:\mu <{\mu }_0$.

Vanliga fel

• Tvåsidigt intervall mot ensidigt test. Sambandet gäller tvåsidigt test med tvåsidigt intervall, eller ensidigt med ensidigt, på samma $\alpha$.
• Fel konfidensgrad. Testet på nivån $\alpha$ hör ihop med konfidensgraden $1-\alpha$, inte $1-\alpha /2$.

---

3. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 16, övning 2 — Vikten 500 gram via konfidensintervall

Fortsättning på testet av enheterna som ska väga 500 gram i Sammansatta hypoteser: 8 normalfördelade mätvärden gav $\bar{x}=497,8$ gram och $s=2,1$. Bestäm vad vi kan säga om hur stort $\mu$ är med $95\%$ säkerhet genom att beräkna och tolka ett $95\%$ konfidensintervall. Hur kan vi dra slutsatsen om $H_0:\mu =500$ ur intervallet i stället för att genomföra testet?

Lösning

Intervallet. $\sigma$ är okänd, så med $t_{0,025}(7)\approx 2,365$:

$$I_{\mu }=\bar{x}\pm t_{0,025}(7)\frac{s}{\sqrt{8}}=497,8\pm 2,365\cdot \frac{2,1}{\sqrt{8}}=497,8\pm 1,76=\boxed{[496,0,499,6]}$$

Tolkning. Med $95\%$ säkerhet ligger väntevärdet $\mu$ mellan $496,0$ och $499,6$ gram.

Testet. $500$ ligger inte i intervallet, så $H_0:\mu =500$ förkastas på $5\%$ signifikansnivå mot $H_1:\mu \ne 500$ — samma slutsats som $t$-testet gav. Intervallet säger dessutom att enheterna i genomsnitt väger mellan $0,4$ och $4,0$ gram för lite.

På räknaren. menu → Statistics → Confidence Intervals → t Interval med Stats: x̄: 497.8, sx: 2.1, n: 8, C Level: 0.95.

Facit: intervallet $[496,0,499,6]$; eftersom $500$ inte ingår kan $H_0$ förkastas på $5\%$ signifikansnivå.

---

Se även

• Konfidensintervall
• Hypotesprövning
• Sammansatta hypoteser
• t-fördelningen

Resurser

• Wikipedia: Confidence interval — relationship with hypothesis testing

---

← Direktmetoden · S0008M · Flerdimensionella fördelningar →