---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - samband
förkunskaper:
  - "[[Konfidensintervall]]"
  - "[[Sammansatta hypoteser]]"
status: utkast
aliases:
  - Sambandet mellan konfidensintervall och test
  - Test via konfidensintervall
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Konfidensintervall]], [[Sammansatta hypoteser]]

---

Ett tvåsidigt test av $H_0:\ \mu = \mu_0$ på signifikansnivån $\alpha$ förkastar nollhypotesen precis när $\mu_0$ inte ligger i konfidensintervallet för $\mu$ med konfidensgraden $1-\alpha$. Intervallet ger därmed testbeslutet för alla $\mu_0$ på en gång.

---

## 1. Sambandet

Låt $I_\mu$ vara ett [[Konfidensintervall|konfidensintervall]] för $\mu$ med konfidensgrad $1-\alpha$. Då gäller:

$$
\boxed{H_0:\ \mu = \mu_0 \text{ förkastas mot } H_1:\ \mu \ne \mu_0 \text{ på nivån } \alpha \quad\Longleftrightarrow\quad \mu_0 \notin I_\mu}
$$

![[ki-hp-intervall.png|520]]

Figuren visar två $95\ \%$-intervall för påsfyllningen ($\sigma = 4$, $n = 9$), $\bar x \pm 1{,}96\cdot 4/3$. Med $\bar x = 502{,}9$ blir intervallet $[500{,}29,\ 505{,}51]$; $500$ ligger utanför, så det tvåsidiga testet förkastar $H_0:\ \mu = 500$. Med $\bar x = 501{,}5$ blir det $[498{,}89,\ 504{,}11]$, som innehåller $500$.

---

## 2. Varför

Ta fallet med okänd $\sigma$. Det tvåsidiga $t$-testet i [[Sammansatta hypoteser]] förkastar **inte** $H_0$ när

$$
\left\lvert\dfrac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt n}\right\rvert \le t_{\alpha/2}(n-1)
\quad\Longleftrightarrow\quad
\bar x - t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s}{\sqrt n} \le \mu_0 \le \bar x + t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s}{\sqrt n}
$$

Högerledet säger exakt att $\mu_0$ ligger i konfidensintervallet. De två metoderna bygger på samma olikhet, bara löst för olika storheter.

> [!tip] Vad intervallet ger utöver testet
> Testet svarar bara ja eller nej för ett enda $\mu_0$. Intervallet visar dessutom **hur stor** avvikelsen kan vara. Därför är det ofta mer informativt att redovisa intervallet.

> [!note] Ensidiga test
> Ett ensidigt test på nivån $\alpha$ svarar på samma sätt mot ett **ensidigt** konfidensintervall med konfidensgrad $1-\alpha$, till exempel $\mu \le \bar x + t_\alpha(n-1)\,s/\sqrt n$ för $H_1:\ \mu < \mu_0$.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Tvåsidigt intervall mot ensidigt test.** Sambandet gäller tvåsidigt test med tvåsidigt intervall, eller ensidigt med ensidigt, på samma $\alpha$.
> - **Fel konfidensgrad.** Testet på nivån $\alpha$ hör ihop med konfidensgraden $1-\alpha$, inte $1-\alpha/2$.

---

## 3. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 16, övning 2 — Vikten 500 gram via konfidensintervall
> Fortsättning på testet av enheterna som ska väga 500 gram i [[Sammansatta hypoteser]]: 8 normalfördelade mätvärden gav $\bar x = 497{,}8$ gram och $s = 2{,}1$. Bestäm vad vi kan säga om hur stort $\mu$ är med $95\ \%$ säkerhet genom att beräkna och tolka ett $95\ \%$ konfidensintervall. Hur kan vi dra slutsatsen om $H_0:\ \mu = 500$ ur intervallet i stället för att genomföra testet?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Intervallet.** $\sigma$ är okänd, så med $t_{0{,}025}(7) \approx 2{,}365$:
> > $$
> > I_\mu = \bar x \pm t_{0{,}025}(7)\dfrac{s}{\sqrt 8} = 497{,}8 \pm 2{,}365\cdot\dfrac{2{,}1}{\sqrt 8} = 497{,}8 \pm 1{,}76 = \boxed{[496{,}0,\ 499{,}6]}
> > $$
> >
> > **Tolkning.** Med $95\ \%$ säkerhet ligger väntevärdet $\mu$ mellan $496{,}0$ och $499{,}6$ gram.
> >
> > **Testet.** $500$ ligger inte i intervallet, så $H_0:\ \mu = 500$ förkastas på $5\ \%$ signifikansnivå mot $H_1:\ \mu \ne 500$ — samma slutsats som $t$-testet gav. Intervallet säger dessutom att enheterna i genomsnitt väger mellan $0{,}4$ och $4{,}0$ gram för lite.
> >
> > **På räknaren.** `menu` → **Statistics** → **Confidence Intervals** → **t Interval** med **Stats**: `x̄: 497.8`, `sx: 2.1`, `n: 8`, `C Level: 0.95`.
> >
> > *Facit: intervallet $[496{,}0,\ 499{,}6]$; eftersom $500$ inte ingår kan $H_0$ förkastas på $5\ \%$ signifikansnivå.*

---

## Se även

- [[Konfidensintervall]]
- [[Hypotesprövning]]
- [[Sammansatta hypoteser]]
- [[t-fördelningen]]

## Resurser

- [Wikipedia: Confidence interval — relationship with hypothesis testing](https://en.wikipedia.org/wiki/Confidence_interval)

---

← [[Direktmetoden]] · [[S0008M]] · [[Flerdimensionella fördelningar]] →