Gränsvärden och kontinuitet

Kapitel: 13.2 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Nivåkurvor och ytor, Partiella derivator

---

1. Avstånd i ${\mathbb{R}}^2$

Avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(a,b)$ i planet definieras som:

$$\boxed{|(x,y)-(a,b)|=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}}$$

Detta är den euklidiska normen och generaliserar den vanliga absolutbeloppet från envariabelanalys. Att $(x,y)\to (a,b)$ betyder att detta avstånd går mot noll.

---

2. Gränsvärde

2.1 Definition

Låt $f(x,y)$ vara definierad i en omgivning kring $(a,b)$ (men inte nödvändigtvis i $(a,b)$ självt). Vi säger att

$$\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)=L$$

om $f(x,y)$ kan göras godtyckligt nära $L$ för alla $(x,y)$ tillräckligt nära $(a,b)$. Formellt: för varje $\epsilon >0$ finns $\delta >0$ sådant att

$$0<\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}<\delta ⟹|f(x,y)-L|<\epsilon .$$

2.2 Skillnaden från envariabelfallet

I envariabelanalys räcker det att kontrollera närmande från vänster och höger — två riktningar. I ${\mathbb{R}}^2$ måste gränsvärdet vara detsamma längs alla möjliga kurvor som leder till $(a,b)$. Det finns oändligt många sådana vägar.

Varför oändligt många vägar?

I ${\mathbb{R}}^1$ kan man bara nalkas $a$ från vänster ($x\to a^{-}$) eller höger ($x\to a^{+}$). I ${\mathbb{R}}^2$ kan man nalkas $(a,b)$ längs en rät linje, längs en parabel, längs en spiral, osv. Alla dessa måste ge samma värde för att gränsvärdet ska existera.

---

3. Visa att ett gränsvärde inte existerar

3.1 Metod: Olika vägar ger olika värden

Om man kan hitta två vägar till $(a,b)$ längs vilka $f(x,y)$ närmar sig olika värden, existerar gränsvärdet inte.

Standardvägar att prova:

Väg	Substitution
Längs $x$-axeln	Sätt $y=0$, låt $x\to a$
Längs $y$-axeln	Sätt $x=0$, låt $y\to b$
Längs linjen $y=x$	Sätt $y=x$, låt $x\to a$
Längs parabeln $y=x^2$	Sätt $y=x^2$, låt $x\to 0$
Längs linjen $y=mx$	Sätt $y=mx$, låt $x\to 0$

Vanlig fallgrop — samma svar längs två vägar räcker inte

Att $f$ ger samma värde längs två valda vägar bevisar inte att gränsvärdet existerar. Gränsvärdet måste vara detsamma längs alla möjliga vägar — oändligt många.

Slutsats du INTE kan dra: “Längs $y=0$ och $y=x$ fick jag 0 — alltså är gränsvärdet 0.” Två vägar kan bara motbevisa existens (om de ger olika svar), aldrig bevisa den.

Gränsvärde som inte existerar: ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

Väg 1: Längs $y=0$ (x-axeln):

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-0}{x^2+0}=\underset{x\to 0}{\lim }1=1$$

Väg 2: Längs $x=0$ (y-axeln):

$$\underset{y\to 0}{\lim }\frac{0-y^2}{0+y^2}=\underset{y\to 0}{\lim }(-1)=-1$$

De två vägarna ger $1\ne -1$, alltså existerar gränsvärdet inte.

Gränsvärde som inte existerar: ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$

Väg 1: Längs $y=0$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot 0}{x^2+0}=0$$

Väg 2: Längs $y=x$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$

$0\ne \frac{1}{2}$, alltså existerar gränsvärdet inte.

Gränsvärde längs $y=mx$ ger en familj av svar

För $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$, prova $y=mx$:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot mx}{x^2+m^2{x}^2}=\frac{m}{1+m^2}$$

Svaret beror på $m$, alltså ger olika riktningar olika gränsvärden. Gränsvärdet existerar inte.

---

4. Visa att ett gränsvärde existerar

4.1 Direktinsättning

Om $f$ är kontinuerlig i $(a,b)$ (se avsnitt 5) kan man sätta in direkt:

$$\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)=f(a,b)$$

4.2 Klämlemmat i 2D

Om $|f(x,y)-L|\le g(x,y)$ och $g(x,y)\to 0$ när $(x,y)\to (a,b)$, så är $\lim f(x,y)=L$.

Vanlig strategi: Uppskatta $|f(x,y)|$ med hjälp av $r=\sqrt{x^2+y^2}$ (polära koordinater nära origo) och visa att uttrycket går mot noll.

Gränsvärde med klämlemmat: ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}$

Notera att $\frac{y^2}{x^2+y^2}\le 1$ för alla $(x,y)\ne (0,0)$.

Därför:

$$\left|\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\right|=|x|\cdot \frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot \frac{|y|}{|x|}\le |x|\cdot 1=|x|$$

Enklare: använd $x^2\le x^2+y^2$, alltså $\frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1$:

$$\left|\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\right|\le |y|\to 0$$

Klämlemmat ger $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}=0$.

Polära koordinater: ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}$

Sätt $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $r\to 0^{+}$:

$$\frac{r^3{\cos }^3\theta }{r^2}=r{\cos }^3\theta$$

Eftersom $|{\cos }^3\theta |\le 1$:

$$|r{\cos }^3\theta |\le r\to 0$$

Gränsvärdet är $0$ oberoende av $\theta$.

---

5. Kontinuitet

5.1 Definition

Funktionen $f(x,y)$ är kontinuerlig i punkten $(a,b)$ om:

1. $f(a,b)$ är definierat,
2. $\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)$ existerar,
3. $\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)=f(a,b)$.

$$\boxed{f\text{ kontinuerlig i }(a,b)⟺\underset{(x,y)\to (a,b)}{\lim }f(x,y)=f(a,b)}$$

5.2 Kontinuerliga funktioner

Alla elementära funktioner (polynom, rationella funktioner, trigonometriska, exponentialfunktioner, logaritmer) är kontinuerliga i sina definitionsmängder. Sammansättningar av kontinuerliga funktioner är kontinuerliga.

Avgör om $f$ är kontinuerlig i $(0,0)$

Låt

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

Från klämlemmat (avsnitt 4.2) vet vi att $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=0=f(0,0)$.

Alltså är $f$ kontinuerlig i $(0,0)$.

Avgör om $g$ är kontinuerlig i $(0,0)$

Låt

$$g(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

Från avsnitt 3 vet vi att $\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$ inte existerar.

Alltså är $g$ inte kontinuerlig i $(0,0)$.

---

6. Sammanfattning — Tillvägagångssätt

Tillvägagångssätt — steg för steg

Steg 1 — Direktinsättning: Är $f$ kontinuerlig i $(a,b)$? Sätt in direkt.

Steg 2 — Misstänker du att gränsvärdet INTE existerar? Prova längs $y=0$, $x=0$, $y=x$, $y=x^2$, $y=mx$. Två vägar med olika svar $\Rightarrow$ gränsvärdet existerar inte.

Steg 3 — Tror du att gränsvärdet existerar? Uppskatta $|f(x,y)-L|$ uppifrån med ett uttryck som $\to 0$. Använd klämlemmat. Polära koordinater $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ underlättar ofta nära origo.

---

Läsning

• 13.2 Limits and Continuity

Se även

• Nivåkurvor och ytor
• Partiella derivator
• Kedjeregeln

---

Resurser

Videor

• Professor Leonard: Limits of Multivariable Functions — grundlig genomgång med flervägsteknik
• Khan Academy: Multivariable limits — introduktion med visualiseringar
• MIT OpenCourseWare 18.02: Limits — föreläsningsanteckningar

Interaktiva verktyg

• Desmos 3D — visualisera ytor och närmanden längs kurvor
• GeoGebra 3D Calculator — utforska gränsvärden grafiskt

Wikipedia

• Limit of a function (multivariable)
• Continuous function