t-fördelningen

Kurs: S0008M Förkunskaper: Konfidensintervall, Punktskattning

---

När standardavvikelsen $\sigma$ är okänd och ersätts med sin skattning $s$ är den standardiserade medelvärdesvariabeln inte längre $N(0,1)$ utan $t$-fördelad med $n-1$ frihetsgrader. $t$-fördelningen har tjockare svansar, och konfidensintervallen blir därför bredare.

---

1. Två kvoter som liknar varandra

För oberoende ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$ jämför vi

$$z=\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\text{och}t=\frac{\bar{\xi }-\mu }{{\sigma }^{\ast }/\sqrt{n}}$$

Skillnaden är nämnaren. I $z$ står den fasta konstanten $\sigma$. I $t$ står skattningen ${\sigma }^{\ast }$, som själv är slumpmässig och varierar från stickprov till stickprov.

Fördelningarna

$$\boxed{\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\in N(0,1),\frac{\bar{\xi }-\mu }{{\sigma }^{\ast }/\sqrt{n}}\in t(n-1)}$$

$t(f)$ är $t$-fördelningen med $f$ frihetsgrader. För ett stickprov är $f=n-1$, samma tal som nämnaren i $s^2$.

Varför de måste skilja sig

Tänk dig att vi simulerar många stickprov. Ibland blir $s$ av en slump mycket mindre än $\sigma$, och då blir $t$ stort även om $\bar{\xi }$ ligger nära $\mu$. Den extra osäkerheten i nämnaren ger fler extrema värden — tjockare svansar — än $N(0,1)$. Med små stickprov är effekten stor; med stora är $s$ nästan alltid nära $\sigma$ och skillnaden försvinner.

Fördelningen härleddes av kemisten W. S. Gosset, som arbetade med kvalitetskontroll på Guinness bryggeri och publicerade under pseudonymen Student. Därav namnet Students $t$-fördelning.

---

2. Egenskaper

• Symmetrisk kring $0$, klockformad som $N(0,1)$.
• Tjockare svansar — mer massa långt ut.
• När $f\to \infty$ går $t(f)$ mot $N(0,1)$.

Kvantilen $t_{\alpha }(f)$ definieras som för normalfördelningen: $P(t>t_{\alpha }(f))=\alpha$. Den läses ur $t$-tabellen och är alltid större än motsvarande ${\lambda }_{\alpha }$:

$f$	$3$	$7$	$12$	$24$	$\infty$
$t_{0,025}(f)$	$3,182$	$2,365$	$2,179$	$2,064$	$1,960={\lambda }_{0,025}$

---

3. Konfidensintervall för $\mu$ med okänt $\sigma$

Samma härledning som i Konfidensintervall, med ${\lambda }_{\alpha /2}$ utbytt mot $t_{\alpha /2}(n-1)$ och $\sigma$ mot $s$:

$$\boxed{I_{\mu }=\left[\bar{x}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\right]}$$

Vilket intervall när?

$\lambda$-intervallet kräver att $\sigma$ är känd i förväg, innan vi ser mätvärdena — till exempel från lång erfarenhet av mätinstrumentet. Har vi bara räknat ut $s$ ur samma data är $\sigma$ okänd, och då gäller $t$-intervallet. Det vanliga fallet i praktiken är okänd $\sigma$.

På räknaren: menu → Statistics → Confidence Intervals → t Interval, eller kvantilen direkt med invt(1-α/2,f).

Vanliga fel

• Frihetsgraderna. Ett stickprov har $f=n-1$, inte $n$.
• invt med fel svans. invt(p,f) ger kvantilen med sannolikheten $p$ till vänster; $t_{0,025}(8)$ är invt(0.975,8).

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 12, övning 2 — Samma data, okänd standardavvikelse

Observationerna $0,50,20,3-0,20,30,30,40,2$ kommer från $N(\mu ,\sigma )$. Nu vet vi ingenting i förväg om $\sigma$. Beräkna ett $95\%$ konfidensintervall för $\mu$ och tolka det.

Lösning

Modell. ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$, $i=1,\dots ,8$, oberoende, $\mu$ och $\sigma$ okända.

Skattningar. $\bar{x}=0,25$ och

$$s=\sqrt{\frac{1}{7}\sum _{i=1}^8(x_i-0,25{)}^2}\approx 0,207$$

Intervall. $t_{0,025}(7)=2,365$:

$$I_{\mu }=\left[0,25\mp 2,365\cdot \frac{0,207}{\sqrt{8}}\right]=[0,25\mp 0,173]\approx \boxed{[0,08;0,42]}$$

Tolkning. Med $95\%$ säkerhet ligger $\mu$ mellan $0,08$ och $0,42$.

Jämförelse. Med $\sigma =0,2$ känd blev intervallet $[0,11;0,39]$, se Konfidensintervall. Här är $s\approx \sigma$, men $t_{0,025}(7)=2,365$ är större än $1,96$ — priset för att inte känna $\sigma$.

På räknaren. Mata in de åtta värdena i en lista och kör t Interval med Data och C Level 0.95.

Facit: [0,07; 0,43] — facit avrundar gränserna utåt; de oavrundade gränserna är 0,077 och 0,423.

Lektion 12, övning 3 och 4 — $z$ eller $t$?

Låt ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ vara oberoende och $N(\mu ,\sigma )$.

a) På vilket sätt skiljer sig $\frac{\bar{\xi }-\mu }{{\sigma }^{\ast }/\sqrt{n}}$ och $\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}$ åt, och vilka fördelningar har de?

b) Du ska beräkna ett konfidensintervall för $\mu$ med konfidensgrad $1-\alpha$ och väljer mellan

$$\left[\bar{x}\mp {\lambda }_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]\text{och}\left[\bar{x}\mp t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$$

I vilken situation ska respektive intervall användas?

Lösning

a) Den första har den slumpmässiga skattningen ${\sigma }^{\ast }$ i nämnaren, den andra den fasta parametern $\sigma$. Därför

$$\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\in N(0,1),\frac{\bar{\xi }-\mu }{{\sigma }^{\ast }/\sqrt{n}}\in t(n-1)$$

Variationen i ${\sigma }^{\ast }$ gör att $t$-kvoten oftare hamnar långt ut, se avsnitt 1.

b) $\lambda$-intervallet när $\sigma$ är känd i förväg; $t$-intervallet när $\sigma$ är okänd och skattas med $s$ ur samma mätvärden. Båda förutsätter normalfördelade observationer.

Facit (övning 3): $N(0,1)$ respektive $t(n-1)$.

Lektion 12, övning 9 (Vännman 8.19 a) — Densitet, 98 %-intervall

Densiteten (g/cm³) hos ett material mäts 13 gånger. Mätvärdena antas vara oberoende observationer från $N(\mu ,\sigma )$ med okänt $\sigma$. Ur mätvärdena fås $\bar{x}=0,508$ och $\sum x_i^2=3,355708$. Beräkna ett $98\%$ konfidensintervall för $\mu$.

Lösning

Modell. ${\xi }_i$ = densitet vid mätning $i$, ${\xi }_i\in N(\mu ,\sigma )$, $i=1,\dots ,13$, oberoende.

Skattning av $\sigma$ med räkneformen:

$$s^2=\frac{1}{12}\left(3,355708-13\cdot 0,508^2\right)=7,3\cdot 10^{-5},s\approx 0,00854$$

Intervall. $98\%$ ger $\alpha /2=0,01$ och $t_{0,01}(12)=2,681$:

$$I_{\mu }=\left[0,508\mp 2,681\cdot \frac{0,00854}{\sqrt{13}}\right]=[0,508\mp 0,0064]\approx \boxed{[0,502;0,514]}$$

Med $98\%$ säkerhet ligger den förväntade densiteten mellan $0,502$ och $0,514$ g/cm³. Utan normalfördelningsantagande, se Teckenintervall.

Uppgiften (Vännman 8.19 a, i 2:a uppl. 8.20 a) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och intervallet stämmer med det: [0,501; 0,515], avrundat utåt från 0,5016 och 0,5144. Rådata finns inte i valvet.

---

Se även

• Konfidensintervall
• Punktskattning
• Normalfördelning
• Stickprov i par
• Två stickprov

Resurser

• Khan Academy: Confidence intervals
• Wikipedia: Students t-fördelning

---

← Konfidensintervall · S0008M · Stickprov i par →