---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - statistik
  - fördelning
förkunskaper:
  - "[[Konfidensintervall]]"
  - "[[Punktskattning]]"
status: utkast
aliases:
  - t-fördelning
  - Students t-fördelning
  - t(f)
  - t-intervall
  - Konfidensintervall med okänd standardavvikelse
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Konfidensintervall]], [[Punktskattning]]

---

När standardavvikelsen $\sigma$ är okänd och ersätts med sin skattning $s$ är den standardiserade medelvärdesvariabeln inte längre $N(0,1)$ utan $t$-fördelad med $n-1$ frihetsgrader. $t$-fördelningen har tjockare svansar, och konfidensintervallen blir därför bredare.

---

## 1. Två kvoter som liknar varandra

För oberoende $\xi_i\in N(\mu,\sigma)$ jämför vi

$$
z = \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt n} \qquad\text{och}\qquad t = \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma^*/\sqrt n}
$$

Skillnaden är nämnaren. I $z$ står den fasta konstanten $\sigma$. I $t$ står [[Punktskattning|skattningen]] $\sigma^*$, som själv är slumpmässig och varierar från stickprov till stickprov.

> [!important] Fördelningarna
> $$
> \boxed{\dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt n}\in N(0,1), \qquad \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma^*/\sqrt n}\in t(n-1)}
> $$
> $t(f)$ är $t$-fördelningen med $f$ **frihetsgrader**. För ett stickprov är $f = n-1$, samma tal som nämnaren i $s^2$.

> [!tip] Varför de måste skilja sig
> Tänk dig att vi simulerar många stickprov. Ibland blir $s$ av en slump mycket mindre än $\sigma$, och då blir $t$ stort även om $\bar\xi$ ligger nära $\mu$. Den extra osäkerheten i nämnaren ger fler extrema värden — tjockare svansar — än $N(0,1)$. Med små stickprov är effekten stor; med stora är $s$ nästan alltid nära $\sigma$ och skillnaden försvinner.

Fördelningen härleddes av kemisten W. S. Gosset, som arbetade med kvalitetskontroll på Guinness bryggeri och publicerade under pseudonymen *Student*. Därav namnet Students $t$-fördelning.

---

## 2. Egenskaper

![[lek12-t-fordelning.png|520]]

- Symmetrisk kring $0$, klockformad som $N(0,1)$.
- **Tjockare svansar** — mer massa långt ut.
- När $f\to\infty$ går $t(f)$ mot $N(0,1)$.

Kvantilen $t_\alpha(f)$ definieras som för normalfördelningen: $P(t > t_\alpha(f)) = \alpha$. Den läses ur $t$-tabellen och är alltid större än motsvarande $\lambda_\alpha$:

| $f$ | $3$ | $7$ | $12$ | $24$ | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $t_{0{,}025}(f)$ | $3{,}182$ | $2{,}365$ | $2{,}179$ | $2{,}064$ | $1{,}960 = \lambda_{0{,}025}$ |

---

## 3. Konfidensintervall för $\mu$ med okänt $\sigma$

Samma härledning som i [[Konfidensintervall]], med $\lambda_{\alpha/2}$ utbytt mot $t_{\alpha/2}(n-1)$ och $\sigma$ mot $s$:

$$
\boxed{I_\mu = \left[\bar x - t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s}{\sqrt n},\ \ \bar x + t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s}{\sqrt n}\right]}
$$

> [!warning] Vilket intervall när?
> $\lambda$-intervallet kräver att $\sigma$ är **känd i förväg**, innan vi ser mätvärdena — till exempel från lång erfarenhet av mätinstrumentet. Har vi bara räknat ut $s$ ur samma data är $\sigma$ okänd, och då gäller $t$-intervallet. Det vanliga fallet i praktiken är okänd $\sigma$.

På räknaren: `menu` → Statistics → Confidence Intervals → t Interval, eller kvantilen direkt med `invt(1-α/2,f)`.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Frihetsgraderna.** Ett stickprov har $f = n-1$, inte $n$.
> - **`invt` med fel svans.** `invt(p,f)` ger kvantilen med sannolikheten $p$ *till vänster*; $t_{0{,}025}(8)$ är `invt(0.975,8)`.

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 12, övning 2 — Samma data, okänd standardavvikelse
> Observationerna $0{,}5\quad 0{,}2\quad 0{,}3\quad -0{,}2\quad 0{,}3\quad 0{,}3\quad 0{,}4\quad 0{,}2$ kommer från $N(\mu,\sigma)$. Nu vet vi ingenting i förväg om $\sigma$. Beräkna ett $95\ \%$ konfidensintervall för $\mu$ och tolka det.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $\xi_i\in N(\mu,\sigma)$, $i = 1,\dots,8$, oberoende, $\mu$ och $\sigma$ okända.
> >
> > **Skattningar.** $\bar x = 0{,}25$ och
> > $$
> > s = \sqrt{\dfrac{1}{7}\sum_{i=1}^{8}(x_i - 0{,}25)^2} \approx 0{,}207
> > $$
> >
> > **Intervall.** $t_{0{,}025}(7) = 2{,}365$:
> > $$
> > I_\mu = \left[0{,}25 \mp 2{,}365\cdot\dfrac{0{,}207}{\sqrt8}\right] = [0{,}25 \mp 0{,}173] \approx \boxed{[0{,}08;\ 0{,}42]}
> > $$
> >
> > **Tolkning.** Med $95\ \%$ säkerhet ligger $\mu$ mellan $0{,}08$ och $0{,}42$.
> >
> > ![[lek12-intervall-z-t.png|480]]
> >
> > **Jämförelse.** Med $\sigma = 0{,}2$ känd blev intervallet $[0{,}11;\ 0{,}39]$, se [[Konfidensintervall]]. Här är $s\approx\sigma$, men $t_{0{,}025}(7) = 2{,}365$ är större än $1{,}96$ — priset för att inte känna $\sigma$.
> >
> > **På räknaren.** Mata in de åtta värdena i en lista och kör t Interval med **Data** och `C Level` `0.95`.
> >
> > *Facit: [0,07; 0,43] — facit avrundar gränserna utåt; de oavrundade gränserna är 0,077 och 0,423.*

> [!example]- Lektion 12, övning 3 och 4 — $z$ eller $t$?
> Låt $\xi_1,\dots,\xi_n$ vara oberoende och $N(\mu,\sigma)$.
>
> a) På vilket sätt skiljer sig $\dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma^*/\sqrt n}$ och $\dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt n}$ åt, och vilka fördelningar har de?
>
> b) Du ska beräkna ett konfidensintervall för $\mu$ med konfidensgrad $1-\alpha$ och väljer mellan
> $$
> \left[\bar x \mp \lambda_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right] \qquad\text{och}\qquad \left[\bar x \mp t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{s}{\sqrt n}\right]
> $$
> I vilken situation ska respektive intervall användas?
>
> > [!note]- Lösning
> > **a)** Den första har den slumpmässiga skattningen $\sigma^*$ i nämnaren, den andra den fasta parametern $\sigma$. Därför
> > $$
> > \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma/\sqrt n}\in N(0,1), \qquad \dfrac{\bar\xi - \mu}{\sigma^*/\sqrt n}\in t(n-1)
> > $$
> > Variationen i $\sigma^*$ gör att $t$-kvoten oftare hamnar långt ut, se avsnitt 1.
> >
> > **b)** $\lambda$-intervallet när $\sigma$ är **känd i förväg**; $t$-intervallet när $\sigma$ är **okänd** och skattas med $s$ ur samma mätvärden. Båda förutsätter normalfördelade observationer.
> >
> > *Facit (övning 3): $N(0,1)$ respektive $t(n-1)$.*

> [!example]- Lektion 12, övning 9 (Vännman 8.19 a) — Densitet, 98 %-intervall
> Densiteten (g/cm³) hos ett material mäts 13 gånger. Mätvärdena antas vara oberoende observationer från $N(\mu,\sigma)$ med okänt $\sigma$. Ur mätvärdena fås $\bar x = 0{,}508$ och $\sum x_i^2 = 3{,}355708$. Beräkna ett $98\ \%$ konfidensintervall för $\mu$.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Modell.** $\xi_i$ = densitet vid mätning $i$, $\xi_i\in N(\mu,\sigma)$, $i = 1,\dots,13$, oberoende.
> >
> > **Skattning av $\sigma$** med räkneformen:
> > $$
> > s^2 = \dfrac{1}{12}\left(3{,}355708 - 13\cdot0{,}508^2\right) = 7{,}3\cdot10^{-5}, \qquad s\approx 0{,}00854
> > $$
> >
> > **Intervall.** $98\ \%$ ger $\alpha/2 = 0{,}01$ och $t_{0{,}01}(12) = 2{,}681$:
> > $$
> > I_\mu = \left[0{,}508 \mp 2{,}681\cdot\dfrac{0{,}00854}{\sqrt{13}}\right] = [0{,}508 \mp 0{,}0064] \approx \boxed{[0{,}502;\ 0{,}514]}
> > $$
> >
> > Med $98\ \%$ säkerhet ligger den förväntade densiteten mellan $0{,}502$ och $0{,}514$ g/cm³. Utan normalfördelningsantagande, se [[Teckenintervall]].
> >
> > *Uppgiften (Vännman 8.19 a, i 2:a uppl. 8.20 a) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och intervallet stämmer med det: [0,501; 0,515], avrundat utåt från 0,5016 och 0,5144. Rådata finns inte i valvet.*

---

## Se även

- [[Konfidensintervall]]
- [[Punktskattning]]
- [[Normalfördelning]]
- [[Stickprov i par]]
- [[Två stickprov]]

## Resurser

- [Khan Academy: Confidence intervals](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/confidence-intervals-one-sample)
- [Wikipedia: Students t-fördelning](https://sv.wikipedia.org/wiki/Students_t-f%C3%B6rdelning)

---

← [[Konfidensintervall]] · [[S0008M]] · [[Stickprov i par]] →