Svängning

Kurser: F0004T, F0005T, F0006T Förkunskaper: Newtons lagar, Differentialekvationer

---

1. Harmonisk oscillator

Återställande kraft proportionell mot utslaget: $F=-kx$. Newton ger

$$m\ddot{x}+kx=0⟹\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,{\omega }_0=\sqrt{k/m}$$

Fysika: Fb11a

Lösning:

$$\boxed{x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )}$$

Fysika: Fb11a

Period $T=2\pi /{\omega }_0$, frekvens $f=1/T$.

Visaren med längden $A$ roterar med vinkelfrekvensen ${\omega }_0$, och massan befinner sig hela tiden rakt under dess spets. Skuggan på $x$-axeln är $x=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )$, och ett varv tar $T=2\pi /{\omega }_0$.

---

2. Dämpad svängning

När en kraft dämpar svängningen:

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$$

$\ddot{x}+\underset{\text{da¨mpning}}{\underbrace{2\gamma }}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,\gamma =\frac{b}{2m}$ Fysika: Fb11d

Tre fall beroende på rötterna till den karakteristiska ekvationen:

2.1 Underdämpad ($\gamma <{\omega }_0$)

$x=A{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }_{e}t+\varphi )$ Fysika: Fb11d

$K_d=K{e}^{2\gamma t}$ Fysika: Fb11d (i formen $K_d=K{e}^{-2\gamma t}$)

2.2 Kritiskt dämpad ($\gamma ={\omega }_0$)

$x=e^{-\gamma t}(A_1+A_{2}t)$ Fysika: Fb11d

2.3 Överdämpad ($\gamma >{\omega }_0$)

$x=e^{-\gamma t}(A_1{e}^{{\omega }_{e}t}+A_2{e}^{-{\omega }_{e}t})$ Fysika: Fb11d

2.4 Energi vid dämpad svängning

$\frac{dE}{dt}=\frac{m}{2}(2v\dot{v})+\frac{k}{2}(2x\dot{x})=mva+kxv=v(ma+kx)=v(-b\dot{x})=-b{v}^2$

• $b$ är dämpningskonstanten; $\frac{dE}{dt}\le 0$ — energin avtar alltid.

---

3. Tvungen svängning

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos ({\omega }_{d}t)$$

Fysika: Fb11e (i formen $\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+{\omega }^{2}x=(F_{\max }/m)\cos {\omega }_{d}t$)

Ger resonans när ${\omega }_d\approx {\omega }_0$. Amplituden:

$A=\frac{F_0}{\sqrt{({\omega }^2-{\omega }_d^2{)}^2+(2\gamma {\omega }_d{)}^2}}$ Fysika: Fb11e (i formen $A=\frac{F_{\max }/m}{\sqrt{({\omega }^2-{\omega }_d^2{)}^2+(2\gamma {\omega }_d{)}^2}}$)

Maximal amplitud vid resonansfrekvensen ${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\gamma }^2}$.

---

4. Partikel- och fysikpendel

Läsning

• 14.2 Simple Harmonic Motion
• 14.7 Damped Oscillations
• 14.8 Forced Oscillations and Resonance
• 14.5 The Simple Pendulum
• 14.6 The Physical Pendulum

Se även

• Differentialekvationer
• Homogena linjära differentialekvationer
• Cirkelrörelse

Resurser

• 3Blue1Brown: Resonance

---

← Vågrörelse · F0005T · Harmonisk våg →