Dimensionshomogenitet

Kurs: F0005T Förkunskaper: Dimensionsanalys

---

Alla termer som adderas i ett fysikaliskt samband måste ha samma dimension. Principen kallas dimensionshomogenitet och ger ett snabbt sätt att kontrollera ett uttryck: bär två adderade termer olika dimension är något fel.

---

1. Dimensionen hos en storhet

Dimensionen läses av direkt ur definitionen. Hastighet är längd per tid och acceleration hastighet per tid:

$$[v]=L{T}^{-1}$$

$$[a]=L{T}^{-2}$$

Sammansatta storheter ärver dimensionen från sitt samband. Ur

$$F=ma$$

följer

$$[F]=M\cdot L{T}^{-2}=ML{T}^{-2}$$

och på samma sätt ger arbetet $W=Fs$, med $[F]=ML{T}^{-2}$ och $[s]=L$, dimensionen

$$[W]=M{L}^2{T}^{-2}$$

---

2. Homogenitetsprincipen

Betrakta läget vid konstant acceleration:

$$s=s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$$

Varje term i högerledet måste ha samma dimension som vänsterledet, alltså längd:

$$[s]=L[s_0]=L$$

$$\left[v_{0}t\right]=L{T}^{-1}T=L$$

$$\left[a{t}^2\right]=L{T}^{-2}{T}^2=L$$

Uttrycket är homogent. Faktorn $\frac{1}{2}$ är dimensionslös och påverkar ingenting — det är just sådana faktorer dimensionsanalysen inte kan hitta.

---

3. Att gissa ett samband ur dimensionerna

Antag att pendelns svängningstid beror på längd, massa, tyngdacceleration och utslagsvinkel. Vi gör en potensansats:

$$t=k\cdot l^{\alpha }{m}^{\beta }{g}^{ϵ}{\theta }^{\gamma }$$

Dimensionerna hos de ingående storheterna är

$$[t]=T[l]=L[m]=M$$

$$[g]=L{T}^{-2}[\theta ]=1$$

Vinkeln är dimensionslös och kan därför inte bidra. Kravet på homogenitet ger en ekvation per grunddimension. Tiden finns bara i faktorn

$$(L{T}^{-2}{)}^{ϵ}$$

så exponentmatchning i $T$ ger

$$1=-2ϵ⟹ϵ=-\frac{1}{2}$$

Längden får inte finnas kvar netto, vilket ger

$$0=\alpha +ϵ⟹\alpha =\frac{1}{2}$$

och eftersom ingen massa förekommer i vänsterledet är

$$0=\beta$$

Ansatsen blir därmed

$$t=k\sqrt{\frac{l}{g}}{\theta }^{\gamma }$$

---

4. Vad analysen kunde berätta

Kärnan i resultatet är faktorn

$$\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Massan föll bort helt — pendelns svängningstid beror inte på vikten. Kvar står två okända: konstanten $k$ och vinkelberoendet ${\theta }^{\gamma }$. Dem måste vi mäta oss till, för de är dimensionslösa.

Det användbara som ändå går att läsa av är proportionaliteten

$$t\propto \sqrt{l}$$

Fyrdubblad längd ger alltså dubblad svängningstid, eftersom

$$\sqrt{4}=2$$

Se även

• Dimensionsanalys
• Pi-grupper
• Buckinghams pi-teorem
• Strykmetoden
• Svängning

Resurser

• Wikipedia: Dimensional analysis

---

← Dimensionsanalys · F0005T · Pi-grupper →