Strykmetoden

Kurs: F0005T Förkunskaper: Dimensionsanalys, Pi-grupper

---

Strykmetoden är ett systematiskt sätt att konstruera dimensionslösa $\pi$-grupper. Vi ställer upp variablernas dimensionsexponenter i en tabell och eliminerar en grunddimension i taget genom att välja en pivotvariabel och dividera de övriga med lämplig potens av den. När alla exponenter är noll återstår $\pi$-grupperna, och pivotvariablerna har strukits ur tabellen.

---

1. Vad är en π-grupp?

En $\pi$-grupp är en kombination av storheter som är dimensionslös:

$$[\pi ]=1$$

Det enklaste fallet är en kvot mellan två längder,

$$\pi =\frac{L_1}{L_2}.$$

där dimensionerna tar ut varandra:

$$[\pi ]=\frac{L}{L}=1$$

---

2. Varför vi använder π-grupper

Betrakta kraften på en kropp som beror på sex storheter:

$$F=f(A,h,x,{\rho }_O,{\rho }_V,g)$$

Ska vi kartlägga det experimentellt måste varje variabel varieras för sig. Skriver vi istället om det i dimensionslösa grupper,

$${\pi }_1=\frac{F}{{\rho }_{O}g{x}^3}$$

$${\pi }_2=\frac{A}{x^2}$$

$${\pi }_3=\frac{h}{x}$$

$${\pi }_4=\frac{{\rho }_V}{{\rho }_O}$$

blir sambandet

$${\pi }_1=\Phi ({\pi }_2,{\pi }_3,{\pi }_4)$$

Sex variabler har blivit fyra grupper, i enlighet med π-teoremet.

---

3. Strykmetoden steg för steg

Vi ställer upp en tabell med en rad per storhet och en kolumn per grunddimension, och fyller i exponenterna. Viskositeten har till exempel dimensionen

$$M{L}^{-1}{T}^{-1}$$

Sedan elimineras en dimension i taget. Välj en pivotvariabel som bär dimensionen, dividera de övriga raderna med lämplig potens av pivoten så att deras exponent blir noll, och stryk pivotraden. Efter massan tar vi längden:

Steg 3 – eliminera längd

$$\frac{F}{\rho v^2{s}^2}$$

$$\frac{\mu }{\rho vs}$$

När tabellen är helt nollad står grupperna kvar:

$${\pi }_1=\frac{F}{\rho v^2{s}^2}$$

$${\pi }_2=\frac{\mu }{\rho vs}$$

---

4. Vad vi gör med π-grupperna

Med bara två grupper är sambandet en funktion av en variabel:

$${\pi }_1=\Phi ({\pi }_2)$$

alltså

$$\frac{F}{\rho v^2{s}^2}=\Phi \left(\frac{\mu }{\rho vs}\right)$$

Funktionen $\Phi$ ger dimensionsanalysen inte — den mäts upp genom att plotta ${\pi }_1$ mot ${\pi }_2$. Men mätserien är nu endimensionell istället för femdimensionell.

Se även

• Pi-grupper
• Buckinghams pi-teorem
• Dimensionsanalys
• Dimensionshomogenitet
• Experimentell metodik

Resurser

• Wikipedia: Nondimensionalization

---

← Buckinghams pi-teorem · F0005T · Experimentell metodik →