---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - experimentell metodik
  - princip
förkunskaper:
  - "[[Dimensionsanalys]]"
status: utkast
aliases:
  - Dimensionshomogen
  - Dimensional homogeneity
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Dimensionsanalys]]

---

Alla termer som adderas i ett fysikaliskt samband måste ha samma dimension. Principen kallas dimensionshomogenitet och ger ett snabbt sätt att kontrollera ett uttryck: bär två adderade termer olika dimension är något fel.

---

## 1. Dimensionen hos en storhet

Dimensionen läses av direkt ur definitionen. Hastighet är längd per tid och acceleration hastighet per tid:

$$
[v]=LT^{-1}
$$

$$
[a]=LT^{-2}
$$

Sammansatta storheter ärver dimensionen från sitt samband. Ur

$$
F=ma
$$

följer

$$
[F] = M\cdot LT^{-2} = MLT^{-2}
$$

och på samma sätt ger arbetet $W=Fs$, med $[F]=MLT^{-2}$ och $[s]=L$, dimensionen

$$
[W]=ML^2T^{-2}
$$

---

## 2. Homogenitetsprincipen

Betrakta läget vid konstant acceleration:

$$
s=s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2
$$

Varje term i högerledet måste ha samma dimension som vänsterledet, alltså längd:

$$
[s]=L
\qquad
[s_0]=L
$$

$$
\left[v_0 t\right] = LT^{-1}T = L
$$

$$
\left[a t^2\right] = LT^{-2}T^2 = L
$$

Uttrycket är homogent. Faktorn $\frac{1}{2}$ är dimensionslös och påverkar ingenting — det är just sådana faktorer dimensionsanalysen inte kan hitta.

---

## 3. Att gissa ett samband ur dimensionerna

Antag att pendelns svängningstid beror på längd, massa, tyngdacceleration och utslagsvinkel. Vi gör en potensansats:

$$
t=k\cdot l^\alpha m^\beta g^\epsilon\theta^\gamma
$$

Dimensionerna hos de ingående storheterna är

$$
[t]=T
\qquad
[l]=L
\qquad
[m]=M
$$

$$
[g]=LT^{-2}
\qquad
[\theta]=1
$$

Vinkeln är dimensionslös och kan därför inte bidra. Kravet på homogenitet ger en ekvation per grunddimension. Tiden finns bara i faktorn

$$
(LT^{-2})^\epsilon
$$

så exponentmatchning i $T$ ger

$$
1=-2\epsilon
\implies
\epsilon=-\frac{1}{2}
$$

Längden får inte finnas kvar netto, vilket ger

$$
0=\alpha+\epsilon
\implies
\alpha=\frac{1}{2}
$$

och eftersom ingen massa förekommer i vänsterledet är

$$
0=\beta
$$

Ansatsen blir därmed

$$
t = k\sqrt{\frac{l}{g}}\theta^\gamma
$$

---

## 4. Vad analysen kunde berätta

Kärnan i resultatet är faktorn

$$
\sqrt{\frac{l}{g}}
$$

Massan föll bort helt — pendelns svängningstid beror inte på vikten. Kvar står två okända: konstanten $k$ och vinkelberoendet $\theta^\gamma$. Dem måste vi mäta oss till, för de är dimensionslösa.

Det användbara som ändå går att läsa av är proportionaliteten

$$
t\propto\sqrt{l}
$$

Fyrdubblad längd ger alltså dubblad svängningstid, eftersom

$$
\sqrt{4} = 2
$$

## Se även

- [[Dimensionsanalys]]
- [[Pi-grupper]]
- [[Buckinghams pi-teorem]]
- [[Strykmetoden]]
- [[Svängning]]

## Resurser

- [Wikipedia: Dimensional analysis](https://en.wikipedia.org/wiki/Dimensional_analysis)

---

← [[Dimensionsanalys]] · [[F0005T]] · [[Pi-grupper]] →