Rörelsemängdsmoment

Kurs: F0006T Förkunskaper: Rotation, Kryssprodukt

---

1. Definition

För en partikel:

$$\boxed{\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times m\vec{v},|\vec{L}|=|\vec{r}||\vec{p}|\sin \theta }$$

Om rörelsen är radiell mot rotationscentrum är $\sin \theta =0$, alltså $\vec{L}=\vec{0}$.

Bild — partikels rörelsemängdsmoment

För en stel kropp som roterar kring en fix axel:

$$L=I\omega$$

---

2. Stel kropp — härledning

Rörelsemängdsmoment för massbit $m_i$:

${\vec{L}}_i={\vec{r}}_i\times {\vec{p}}_i={\vec{r}}_i\times m_i{\vec{v}}_{it}$

$L_{iz}=r_i{m}_i{v}_{it}=r_i{m}_i(r_i\omega )=m_i{r}_i^2\omega$

$L_z=\sum L_{iz}=\left(\sum m_i{r}_i^2\right)\omega =I\omega$

Bild — stel kropp

Intuitiv förklaring — varför är rörelsemängdsmomentet en vektor?

Videon nedan visar hur rörelsemängdsmomentet har en bestämd riktning.

---

3. Bevarande av rörelsemängdsmoment

$$\vec{\tau }=\frac{d\vec{L}}{dt},\vec{\tau }=\vec{0}\Rightarrow \vec{L}=\text{konst.}$$

Vid rotation kring symmetriaxeln $z$:

• $\vec{\tau }=\vec{0}⟹I_{z_1}{\omega }_1=I_{z_2}{\omega }_2$
• $\vec{F}=\vec{0}⟹m_1{\vec{v}}_1=m_2{\vec{v}}_2$

Klassiskt exempel: pirouetten — armarna inåt minskar $I$, alltså ökar $\omega$.

Impulsmomentlagen (Fysika TB7b):

$\int {\tau }_{z}dt=L_{z_2}-L_{z_1}=I_{z_2}{\omega }_2-I_{z_1}{\omega }_1$

Storheter

Storhet	Beteckning	Enhet
Rörelsemängdsmoment	$\vec{L}$	kg·m²/s
Ortvektor (från axeln)	$\vec{r}$	m
Rörelsemängd	$\vec{p}$	kg·m/s
Massa	$m$	kg
Hastighet	$\vec{v}$	m/s
Tröghetsmoment	$I$	kg·m²
Vinkelhastighet	$\omega$	rad/s
Tangentiell hastighet	$v_{it}$	m/s
Kraftmoment	$\vec{\tau }$	N·m
Impulsmoment	$\int {\tau }_{z}dt$	kg·m²/s

Läsning

• 10.5 Angular Momentum
• 10.6 Conservation of Angular Momentum

Se även

• Rotation
• Rotationsmekanik
• Kraftmoment och jämvikt
• Momentekvationen