Linjära ekvationssystem

Antal obekanta	Linjära ekvation	Linjärt utryck
1	$3 x = 5 ⟺ x = \frac{5}{3}$	$3 x$
2	$3 x + 5 = 2 y$	$5 x - y$
3	$8 x + 2 y - z = 0$	$8 x + 2 y - z$
$x_{1}, \dots, x_{n}$ obekanta	$a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n} = b$	$a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + \dots + a_{n} x_{n}$

$(a_{1}, \dots, a_{n}, b$ är givna reella tal)

Sats för linjära ekvationssystem

Antalet lösningar är alltid $0$ , $1$ , eller $\infty$

En lösning — linjerna skär varandra

---
title: Linjärt ekvationssystem
xLabel: x
yLabel: y
bounds: [-2, 6, -2, 6]
grid: true
---
f(x) = (7 - 2x) / 3
g(x) = x - 1

Ingen lösning — parallella linjer

---
title: Parallella linjer
xLabel: x
yLabel: y
bounds: [-2, 6, -1, 5]
grid: true
---
f(x) = -x + 3
g(x) = -x + 1

Oändligt många lösningar — samma linje

---
title: Samma linje
xLabel: x
yLabel: y
bounds: [-2, 6, -1, 5]
grid: true
---
f(x) = -x + 3
g(x) = -x + 3

Geometrisk tolkning

I ett system av linjära ekvationer är lösningen de punkter som uppfyller alla ekvationer — dvs. skärningarna.

Antal ekvationer	Obekanta	Geometri	Lösning
2	2	Linjer i planet	Punkt (eller linje/tom)
2	3	Plan i rummet	Linje
3	3	Plan i rummet	Punkt

Homogena system

Ett linjärt ekvationssystem är homogent om högerledet är noll i alla ekvationer:

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = 0 a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = 0 ⋮ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = 0

Egenskaper:

Har alltid minst den triviala lösningen: $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$
Om fria variabler finns → oändligt många lösningar
Homogena system har aldrig exakt noll lösningar

Observation

Ett homogent system med fler obekanta än ekvationer har alltid oändligt många lösningar (icke-triviala lösningar finns).

Klammernotation

Denna notation är vanlig:

{2 x + 3 y = 7 x - y = 1

Men det finns effektivare notation: matriser. Syftet med matrisform är att det gör det möjligt (lättare) att tillämpa Linjära ekvationssystem.

Från klammernotation till matrisnotation

Ett linjärt ekvationssystem kan skrivas om till utökad koefficientmatris:

{2 x + 3 y = 7 x - y = 1 ⟹ [21 3 - 1 ∣ ∣ 71]

Tillvägagångssätt

Koefficienter till vänster om strecket
Högerled ( $b$ -värden) till höger om strecket
Varje rad motsvarar en ekvation
Varje kolonn (före strecket) motsvarar en obekant

Exempel med tre obekanta

⎩ ⎨ ⎧ x + y + 2 z = 9 2 x + 4 y - 3 z = 1 3 x + 6 y - 5 z = 0 ⟹ 123146 2 - 3 - 5 ∣ ∣ ∣ 910

Allmänt

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

⟹ a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} ∣ ∣ ∣ ∣ b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}

Lösningsfall vid Gausselimination

Fall	Kännetecken	Antal lösningar
Ingen lösning	Rad: $[00 \dots 0 b]$	$b$ där $b \neq = 0$
Unik lösning	Lika många pivoter som obekanta	$1$
Oändligt många	Fria variabler finns (och konsistent)	$\infty$

Se även

Resurser

3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7) GeoGebra: System of Linear Equations — grafisk lösning av 2×2-system

- [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — lös system online - [Wikipedia: System of linear equations](https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations)

Gausselimination

1. Bundna och fria variabler

3B1B: Inverse matrices, column space, null space

Om lösning finns för alla värden av en variabel $t$ så är $t$ en fri variabel, medan resten är bundna.

Exempel: Lösningen $(5 - t, 2 - t, t)$

Här är $t$ fri variabel.

Om man får en ekvation där t.ex. $0 = 1$ saknas lösning (inkonsistent system).

2. Pivotelement

Definition: Det första nollskilda elementet på en rad kallas pivotelement. Om det är en etta kallas det en ledande etta.

I en matris markeras pivotelementet ofta med en ruta:

[11 - 3 ∣ 4]

Från ekvation till lösning

Givet $x + y + 3 z = 4$ med $x$ som pivotkolumn:

Sätt $z = s$ , $y = t$ (fria variabler):

x = 4 - y - 3 z = 4 - t - 3 s

Lösningen:

(x, y, z) = (4 - t - 3 s, t, s) = (4, 0, 0) + t (- 1, 1, 0) + s (- 3, 0, 1)

3. Trappstegsform (Echelon Form)

En matris är på trappstegsform om:

Nollraderna är samlade längst ned
Pivotelement i en rad är alltid till höger om pivotelementet i raden ovanför

Exempel på trappstegsform

Pivotelementet markeras med ruta:
$10002100531026202251 ∣ ∣ ∣ ∣ * * * *$

4. Reducerad trappstegsform (Reduced Row Echelon Form)

En matris är på reducerad trappstegsform om:

Den är på trappstegsform
Alla pivoter är ettor
Varje pivot är det enda nollskilda elementet i sin kolumn

Exempel på reducerad trappstegsform

$10000100501026200001 ∣ ∣ ∣ ∣ * * * *$

Sats

Varje matris är radekvivalent med minst en matris på trappstegsform och med precis en på reducerad trappstegsform.

5. Gausselimination — Exempel

interaktiv GeoGebra

Reducera till trappstegsform

Startmatris:
$0 - 1 - 2 1 - 3 - 2 - 3 4 - 6 - 1 05 433 - 9 ∣ ∣ ∣ ∣ 91 - 1 - 7$
Steg 1: Byt $R_{1} \leftrightarrow R_{4}$ för att få pivotelement i första kolumnen:
$1 - 1 - 2 0 4 - 2 - 3 - 3 5 - 1 0 - 6 - 9 334 ∣ ∣ ∣ ∣ - 7 1 - 1 9$
Steg 2: $R_{1} + R_{2} \to R_{2}$ och $2 R_{1} + R_{3} \to R_{3}$ :
$1000 425 - 3 5410 - 6 - 9 - 6 - 15 4 ∣ ∣ ∣ ∣ - 7 - 6 - 15 9$
Fortsätt eliminera under pivoten i kolumn 2…

Resultat: Variablerna som tillhör pivotkolumner är bundna, resten är fria.

6. Tolka lösningen

Variabeltyp	Beskrivning
Bunden	Tillhör en pivotkolumn, bestämd av de fria
Fri	Kan sättas till valfritt värde ( $s, t, u, \dots$ )

Exempel: Parametriserad lösning

Om $x$ är bunden och $y, z$ är fria med $y = s$ , $z = t$ :
$x = - 2 - 2 s - 3 t$
Lösningen på vektorform:
$(x, y, z) = (- 2, 0, 0) + s (- 2, 1, 0) + t (- 3, 0, 1)$

Notation för fria variabler

Sätt fria variabler som: $s, t, u, v, \dots$

7. Homogena system

Om högerledet är noll i alla ekvationer i ett linjärt ekvationssystem är det homogent.

Då är alltid $x = 0$ (triviala lösningen) en lösning:

x_{1} = 0, x_{2} = 0, \dots, x_{n} = 0

8. Ekvationssystem med parameter

interaktiv kalkylator

Lös systemet beroende på parametern $a$

Startmatris:
$111 1 a^{2} 2 110 ∣ ∣ ∣ 1 a - 1$
Steg 1: $R_{1} \cdot (- 1) + R_{2} \to R_{2}$ och $R_{1} \cdot (- 1) + R_{3} \to R_{3}$ :
$100 1 a^{2} - 1 1 10 - 1 ∣ ∣ ∣ 1 a - 1 - 2$
Steg 2: Byt $R_{2} \leftrightarrow R_{3}$ :
$100 11 a^{2} - 1 1 - 1 0 ∣ ∣ ∣ 1 - 2 a - 1$
Steg 3: $R_{2} \cdot (- (a^{2} - 1)) + R_{3} \to R_{3}$ :
$100110 1 - 1 a^{2} - 1 ∣ ∣ ∣ 1 - 2 (a - 1) + 2 (a^{2} - 1)$
Fallanalys: Antalet pivoter beror på om $a^{2} - 1 = 0$

Fall 1: $a^{2} - 1 \neq = 0$ (dvs. $a \neq = \pm 1$ )

Tre pivoter $\Rightarrow$ $x, y, z$ bundna (en unik lösning):
$z = \frac{( a - 1 ) + 2 ( a ^{2} - 1 )}{a ^{2} - 1} = \frac{2 a + 3}{a + 1}$
Fall 2: $a = 1$

Analysera separat…

Fall 3: $a = - 1$

Analysera separat…

Resurser

Videor

3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7) — visar sambandet mellan pivoter, fria variabler och nollrum
3Blue1Brown: Nonsquare matrices (kap 8) — hur rader/kolumner påverkar lösningsrummet
MIT 18.06: Lecture 2 — Elimination with Matrices — Gilbert Strangs klassiska föreläsning

Quartz 4

Explorer

Linjära ekvationssystem