Determinanter

Kapitel: 2.1–2.3 · Ämne: Linjär algebra Förkunskaper: Matriser, Linjära ekvationssystem

---

1. Determinanter — Översikt

3B1B: The determinant

Determinanter är definierade för kvadratiska matriser ($n\times n$).

Notation

$$\det (A)=|A|$$

---

2. Beräkning av determinanter

2.1 $1\times 1$ matris

$$\det ([a])=a$$

2.2 $2\times 2$ matris

$$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=\boxed{ad-bc}$$

2.3 $n\times n$ matris — Kofaktorutveckling

Stryk rad $i$ och kolumn $j$, ta determinanten av det som blir kvar.

Minor: $M_{ij}$ = determinanten av $(n-1)\times (n-1)$ matrisen

Kofaktor:

$$c_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

Använd utveckling efter rad eller kolumn (rekursiv definition):

$$\det (A)=\sum _{j=1}^n{a}_{1j}\cdot c_{1j}$$

där $c_{1j}$ är kofaktorn.

Teckenmönster för kofaktorer

$$\left[\begin{array}{ccccc}+& -& +& -& \cdots \\ -& +& -& +& \cdots \\ +& -& +& -& \cdots \\ -& +& -& +& \cdots \end{array}\right]$$

Komplexitet

För en $n\times n$ matris ger utveckling $n!$ operationer.

---

3. Utveckling efter rad eller kolumn

Utveckling efter rad 1:

$$\det (A)=a_{11}{c}_{11}+a_{12}{c}_{12}+\cdots +a_{1n}{c}_{1n}=\sum _{j=1}^n{a}_{1j}{c}_{1j}$$

Utveckling efter kolumn $j$:

$$\det (A)=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{c}_{ij}$$

Sats

Utveckling efter vilken rad eller kolumn som helst ger samma determinant.

Beräkna determinanten

$$\det \left(\begin{array}{ccc}3& 6& 7\\ -4& 1& 0\\ 3& -2& -4\end{array}\right)$$

Utveckla efter rad 1:

$$=3\det \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& -4\end{array}\right)-6\det \left(\begin{array}{cc}-4& 0\\ 3& -4\end{array}\right)+7\det \left(\begin{array}{cc}-4& 1\\ 3& -2\end{array}\right)$$ $$=3(-4)-6(16)+7(5)=-12-96+35=-73$$

Välj rad/kolumn med många nollor

$$\det \left(\begin{array}{cccc}2& 0& 4& 0\\ -1& 3& 2& -1\\ 1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 0\end{array}\right)$$

Utveckla efter kolumn 4 (tre nollor!):

$$=-(-1)\det \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 4\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{ccc}2& 0& 4\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Fortsätt utveckla…

---

4. Viktiga satser

Sats	Beskrivning
$\det (A)=\det (A^T)$	Determinanten är samma för transponatet
Triangulär matris	$\det =$ produkten av diagonalelementen
$\det (I)=1$	Identitetsmatrisens determinant
$\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$	Multiplikativ egenskap
$\det (A)\ne 0\iff A$ inverterbar	Kriterium för inverterbarhet

Transponat

$$\boxed{\det (A)=\det (A^T)}$$

Triangulära matriser

För en triangulär matris (över- eller undertriangulär) är determinanten produkten av diagonalelementen.

Linjäritet

Determinanten är linjär i varje rad och kolumn:

• Homogen: $\det (kA)=k^n\det (A)$ för $n\times n$ matris
• Additiv i varje rad/kolumn separat

---

5. Effekt av radoperationer

Operation	Effekt på $\det$
Byta plats på två rader	$\det \to -\det$
Multiplicera rad med $k$	$\det \to k\cdot \det$
Addera multipel av rad till annan	$\det$ oförändrad

Konsekvens

Om två rader (eller kolumner) är:

• Lika: $\det (A)=0$
• Multiplar av varandra: $\det (A)=0$

---

6. Två metoder för att beräkna determinant

1. Utveckling efter rad/kolumn — Välj rad/kolumn med många nollor
2. Gausseliminera till triangulär form — Ta produkten av diagonalen

Beräkna med elementära matriser

Grundidé: Om $E$ är elementär matris så gäller:

$$\det (EA)=\det (E)\cdot \det (A)$$

Determinanter för elementära matriser:

• Multiplicera rad med $k$: $\det (E)=k$
• Addera multipel: $\det (E)=1$
• Byta rader: $\det (E)=-1$

Beräkna determinant med Gausselimination

Metod: Reducera till triangulär form och ta produkten av diagonalen.

Exempel

$$\det \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 5\\ 0& 1& 5\\ 2& 6& 1\end{array}\right)$$

Två identiska rader $\Rightarrow \det =0$

---

Annat exempel med radoperationer:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 1& 5\\ 2& 6& 1\end{array}\right)\stackrel{R_3-2R_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 1& 5\\ 0& 10& -5\end{array}\right)\stackrel{R_3-10R_2}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 1& 5\\ 0& 0& -55\end{array}\right)$$

$\det =1\cdot 1\cdot (-55)=-55$

---

7. Singulära matriser

Definition: En matris är singulär om den ej är inverterbar.

$$A\text{ singula¨r}⟺\det (A)=0$$

---

8. Cramers regel

3B1B: Cramer’s rule, explained geometrically

8.1 Lemma

Om $AB$ är inverterbar så är både $A$ och $B$ inverterbara.

8.2 Cramers regel

För systemet $A\vec{x}=\vec{b}$ med $\det (A)\ne 0$:

$$\boxed{x_j=\frac{\det (A_j(\vec{b}))}{\det (A)}}$$

där $A_j(\vec{b})$ är matrisen $A$ med kolumn $j$ ersatt av $\vec{b}$.

---

Se även

• Linjära ekvationssystem
• Matriser
• Cramers regel

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: The determinant (kap 6) — geometrisk tolkning av determinanten som area/volym
• 3Blue1Brown: Cramer’s rule, explained geometrically (kap 12) — visuell förklaring av Cramers regel
• 3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7) — singulära matriser och $\det =0$

Interaktiva verktyg

• matrixcalc.org: Determinant Calculator — beräkna med visade steg
• Falstad: Matrix Simulation — se hur determinanten förändras
• Desmos Matrix Calculator
• matrixcalc.org — beräkna determinanter online

Wikipedia

• Determinant
• Cramer’s rule
• Cofactor expansion

Fördjupning

• Immersive Linear Algebra — Chapter 7: Determinants — interaktiv 3D-bok
• MIT 18.06SC: Properties of Determinants