--- kurs: - M0067M kapitel: "2.1–2.3" tags: - linjär-algebra - determinant - matris förkunskaper: - "[[Matriser]]" - "[[Linjära ekvationssystem]]" status: true aliases: - Determinant - Kofaktorutveckling - Cramers regel --- > **Kapitel:** 2.1–2.3 · **Ämne:** Linjär algebra > **Förkunskaper:** [[Matriser]], [[Linjära ekvationssystem]] --- ## 1. Determinanter — Översikt > [3B1B: The determinant](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) Determinanter är definierade för **kvadratiska matriser** ($n \times n$). ### Notation $$ \det(A) = |A| $$ --- ## 2. Beräkning av determinanter ### 2.1 $1 \times 1$ matris $$ \det([a]) = a $$ ### 2.2 $2 \times 2$ matris $$ \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \boxed{ad - bc} $$ ### 2.3 $n \times n$ matris — Kofaktorutveckling Stryk rad $i$ och kolumn $j$, ta determinanten av det som blir kvar. **Minor:** $M_{ij}$ = determinanten av $(n-1) \times (n-1)$ matrisen **Kofaktor:** $$ c_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} $$ Använd **utveckling efter rad eller kolumn** (rekursiv definition): $$ \det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} \cdot c_{1j} $$ där $c_{1j}$ är kofaktorn. > [!note]- Teckenmönster för kofaktorer > > $$ > \begin{bmatrix} > + & - & + & - & \cdots \\ > - & + & - & + & \cdots \\ > + & - & + & - & \cdots \\ > - & + & - & + & \cdots > \end{bmatrix} > $$ > [!note]- Komplexitet > För en $n \times n$ matris ger utveckling $n!$ operationer. --- ## 3. Utveckling efter rad eller kolumn **Utveckling efter rad 1:** $$ \det(A) = a_{11}c_{11} + a_{12}c_{12} + \cdots + a_{1n}c_{1n} = \sum_{j=1}^{n} a_{1j}c_{1j} $$ **Utveckling efter kolumn $j$:** $$ \det(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}c_{ij} $$ ### Sats Utveckling efter **vilken rad eller kolumn som helst** ger samma determinant. > [!example]- Beräkna determinanten > > $$ > \det\begin{pmatrix} 3 & 6 & 7 \\ -4 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & -4 \end{pmatrix} > $$ > > Utveckla efter rad 1: > $$ > = 3 \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} - 6 \det\begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} + 7 \det\begin{pmatrix} -4 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} > $$ > > $$ > = 3(-4) - 6(16) + 7(5) = -12 - 96 + 35 = -73 > $$ > [!example]- Välj rad/kolumn med många nollor > > $$ > \det\begin{pmatrix} > 2 & 0 & 4 & 0 \\ > -1 & 3 & 2 & -1 \\ > 1 & 2 & 1 & 0 \\ > 0 & 1 & 2 & 0 > \end{pmatrix} > $$ > > Utveckla efter **kolumn 4** (tre nollor!): > $$ > = -(-1) \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} > $$ > > Fortsätt utveckla... --- ## 4. Viktiga satser | Sats | Beskrivning | |------|-------------| | $\det(A) = \det(A^T)$ | Determinanten är samma för transponatet | | Triangulär matris | $\det = $ produkten av diagonalelementen | | $\det(I) = 1$ | Identitetsmatrisens determinant | | $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$ | Multiplikativ egenskap | | $\det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$ inverterbar | Kriterium för inverterbarhet | ### Transponat $$ \boxed{\det(A) = \det(A^T)} $$ ### Triangulära matriser För en triangulär matris (över- eller undertriangulär) är determinanten **produkten av diagonalelementen**. ### Linjäritet Determinanten är **linjär i varje rad och kolumn**: - Homogen: $\det(kA) = k^n \det(A)$ för $n \times n$ matris - Additiv i varje rad/kolumn separat --- ## 5. Effekt av radoperationer | Operation | Effekt på $\det$ | |-----------|------------------| | Byta plats på två rader | $\det \to -\det$ | | Multiplicera rad med $k$ | $\det \to k \cdot \det$ | | Addera multipel av rad till annan | $\det$ oförändrad | ### Konsekvens Om två rader (eller kolumner) är: - **Lika:** $\det(A) = 0$ - **Multiplar av varandra:** $\det(A) = 0$ --- ## 6. Två metoder för att beräkna determinant 1. **Utveckling efter rad/kolumn** — Välj rad/kolumn med många nollor 2. **Gausseliminera till triangulär form** — Ta produkten av diagonalen > [!example]- Beräkna med elementära matriser > > **Grundidé:** Om $E$ är [[Elementärmatriser|elementär matris]] så gäller: > $$ > \det(EA) = \det(E) \cdot \det(A) > $$ > > **Determinanter för elementära matriser:** > - Multiplicera rad med $k$: $\det(E) = k$ > - Addera multipel: $\det(E) = 1$ > - Byta rader: $\det(E) = -1$ ### Beräkna determinant med Gausselimination **Metod:** Reducera till triangulär form och ta produkten av diagonalen. > [!example]- Exempel > > $$ > \det\begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix} > $$ > > Två identiska rader $\Rightarrow \det = 0$ > > --- > > Annat exempel med radoperationer: > > $$ > \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 1 \end{pmatrix} > \xrightarrow{R_3 - 2R_1} > \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 10 & -5 \end{pmatrix} > \xrightarrow{R_3 - 10R_2} > \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & -55 \end{pmatrix} > $$ > > $\det = 1 \cdot 1 \cdot (-55) = -55$ --- ## 7. Singulära matriser **Definition:** En matris är **singulär** om den ej är inverterbar. $$ A \text{ singulär} \Longleftrightarrow \det(A) = 0 $$ --- ## 8. Cramers regel > [3B1B: Cramer's rule, explained geometrically](https://youtu.be/jBsC34PxzoM) ### 8.1 Lemma Om $AB$ är inverterbar så är både $A$ och $B$ inverterbara. ### 8.2 Cramers regel För systemet $A\vec{x} = \vec{b}$ med $\det(A) \neq 0$: $$ \boxed{x_j = \frac{\det(A_j(\vec{b}))}{\det(A)}} $$ där $A_j(\vec{b})$ är matrisen $A$ med kolumn $j$ ersatt av $\vec{b}$. --- ## Se även - [[Linjära ekvationssystem]] - [[Matriser]] - [[Cramers regel]] --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: The determinant (kap 6)](https://youtu.be/Ip3X9LOh2dk) — geometrisk tolkning av determinanten som area/volym - [3Blue1Brown: Cramer's rule, explained geometrically (kap 12)](https://youtu.be/jBsC34PxzoM) — visuell förklaring av Cramers regel - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — singulära matriser och $\det = 0$ ### Interaktiva verktyg - [matrixcalc.org: Determinant Calculator](https://matrixcalc.org/det.html) — beräkna med visade steg - [Falstad: Matrix Simulation](https://www.falstad.com/matrix/) — se hur determinanten förändras - [Desmos Matrix Calculator](https://www.desmos.com/matrix) - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — beräkna determinanter online ### Wikipedia - [Determinant](https://en.wikipedia.org/wiki/Determinant) - [Cramer's rule](https://en.wikipedia.org/wiki/Cramer%27s_rule) - [Cofactor expansion](https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_expansion) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 7: Determinants](https://immersivemath.com/ila/ch07_determinants/ch07.html) — interaktiv 3D-bok - [MIT 18.06SC: Properties of Determinants](https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/pages/resource-index/)