--- kurs: - M0067M tags: - linjär-algebra - matris förkunskaper: - "[[Matriser]]" status: true aliases: - Linjärt ekvationssystem - System of linear equations - Gaussian elimination - Trappstegsform - Reducerad trappstegsform --- ## Linjära ekvationssystem | Antal obekanta | Linjära ekvation | Linjärt utryck | | -------------- | ---------------- | -------------- | | 1 | $3x=5 \Longleftrightarrow x=\frac{5}{3}$ | $3x$ | | 2 | $3x+5=2y$ | $5x-y$ | | 3 | $8x+2y-z=0$ | $8x+2y-z$ | | $x_{1},\dots,x_{n}$ obekanta | $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}=b$ | $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}$ | $(a_{1},\dots,a_{n},b$ är givna reella tal) --- ### Sats för linjära ekvationssystem **Antalet lösningar är alltid $0$, $1$, eller $\infty$** > [!example]- En lösning — linjerna skär varandra > ```functionplot > --- > title: Linjärt ekvationssystem > xLabel: x > yLabel: y > bounds: [-2, 6, -2, 6] > grid: true > --- > f(x) = (7 - 2x) / 3 > g(x) = x - 1 > ``` > [!example]- Ingen lösning — parallella linjer > ```functionplot > --- > title: Parallella linjer > xLabel: x > yLabel: y > bounds: [-2, 6, -1, 5] > grid: true > --- > f(x) = -x + 3 > g(x) = -x + 1 > ``` > [!example]- Oändligt många lösningar — samma linje > ```functionplot > --- > title: Samma linje > xLabel: x > yLabel: y > bounds: [-2, 6, -1, 5] > grid: true > --- > f(x) = -x + 3 > g(x) = -x + 3 > ``` --- ### Geometrisk tolkning I ett system av linjära ekvationer är lösningen de punkter som uppfyller **alla** ekvationer — dvs. skärningarna. | Antal ekvationer | Obekanta | Geometri | Lösning | |------------------|----------|----------|---------| | 2 | 2 | Linjer i planet | Punkt (eller linje/tom) | | 2 | 3 | Plan i rummet | Linje | | 3 | 3 | Plan i rummet | Punkt |
2 plan → skärning är en linje
3 plan → skärning är en punkt
--- ### Homogena system Ett linjärt ekvationssystem är **homogent** om högerledet är noll i alla ekvationer: $$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases} $$ **Egenskaper:** - Har alltid minst den **triviala lösningen**: $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$ - Om fria variabler finns → oändligt många lösningar - Homogena system har **aldrig** exakt noll lösningar > [!note] Observation > Ett homogent system med fler obekanta än ekvationer har alltid oändligt många lösningar (icke-triviala lösningar finns). --- ### Klammernotation Denna notation är vanlig: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $$ Men det finns effektivare notation: **matriser**. Syftet med matrisform är att det gör det möjligt (lättare) att tillämpa [[Linjära ekvationssystem]]. --- ### Från klammernotation till matrisnotation Ett linjärt ekvationssystem kan skrivas om till **utökad koefficient­matris**: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} 2 & 3 & | & 7 \\ 1 & -1 & | & 1 \end{bmatrix} $$ ### Tillvägagångssätt 1. **Koefficienter** till vänster om strecket 2. **Högerled** ($b$-värden) till höger om strecket 3. Varje **rad** motsvarar en ekvation 4. Varje **kolonn** (före strecket) motsvarar en obekant --- ### Exempel med tre obekanta $$ \begin{cases} x + y + 2z = 9 \\ 2x + 4y - 3z = 1 \\ 3x + 6y - 5z = 0 \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 9 \\ 2 & 4 & -3 & | & 1 \\ 3 & 6 & -5 & | & 0 \end{bmatrix} $$ --- ### Allmänt $$ \begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots+a_{1n}x_{n}=b_{1} \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots+a_{2n}x_{n}=b_{2} \\ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases} $$ $$ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & | & b_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & | & b_{m} \end{bmatrix} $$ --- ### Lösningsfall vid Gausselimination | Fall | Kännetecken | Antal lösningar | | -------------- | ----------------------------------------------- | ------------------ | | Ingen lösning | Rad: $[0 \quad 0 \quad \cdots \quad 0 \quad b]$ | $b$ där $b \neq 0$ | | Unik lösning | Lika många pivoter som obekanta | $1$ | | Oändligt många | Fria variabler finns (och konsistent) | $\infty$ | --- ## Se även - [[Linjära ekvationssystem]] - [[Matriser]] --- ## Resurser - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) GeoGebra: System of Linear Equations — grafisk lösning av 2×2-system - [matrixcalc.org](https://matrixcalc.org/) — lös system online - [Wikipedia: System of linear equations](https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations) --- ## Gausselimination --- ## 1. Bundna och fria variabler > [3B1B: Inverse matrices, column space, null space](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) Om lösning finns för alla värden av en variabel $t$ så är $t$ en **fri** variabel, medan resten är **bundna**. > [!example]- Exempel: Lösningen $(5-t, 2-t, t)$ > Här är $t$ fri variabel. > > Om man får en ekvation där t.ex. $0 = 1$ saknas lösning (inkonsistent system). --- ## 2. Pivotelement **Definition:** Det första nollskilda elementet på en rad kallas **pivotelement**. Om det är en etta kallas det en **ledande etta**. I en matris markeras pivotelementet ofta med en ruta: $$ [\boxed{1} \quad 1 \quad -3 \quad | \quad 4] $$ ### Från ekvation till lösning Givet $x + y + 3z = 4$ med $x$ som pivotkolumn: Sätt $z = s$, $y = t$ (fria variabler): $$ x = 4 - y - 3z = 4 - t - 3s $$ Lösningen: $$ (x, y, z) = (4 - t - 3s, t, s) = (4, 0, 0) + t(-1, 1, 0) + s(-3, 0, 1) $$ --- ## 3. Trappstegsform (Echelon Form) En matris är på **trappstegsform** om: 1. Nollraderna är samlade längst ned 2. Pivotelement i en rad är alltid till höger om pivotelementet i raden ovanför > [!example]- Exempel på trappstegsform > > Pivotelementet markeras med ruta: > $$ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 2 & 5 & 2 & 2 & | & * \\ > 0 & \boxed{1} & 3 & 6 & 2 & | & * \\ > 0 & 0 & \boxed{1} & 2 & 5 & | & * \\ > 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & | & * > \end{bmatrix} > $$ --- ## 4. Reducerad trappstegsform (Reduced Row Echelon Form) En matris är på **reducerad trappstegsform** om: 1. Den är på trappstegsform 2. Alla pivoter är ettor 3. Varje pivot är det enda nollskilda elementet i sin kolumn > [!example]- Exempel på reducerad trappstegsform > > $$ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 0 & 5 & 2 & 0 & | & * \\ > 0 & \boxed{1} & 0 & 6 & 0 & | & * \\ > 0 & 0 & \boxed{1} & 2 & 0 & | & * \\ > 0 & 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & | & * > \end{bmatrix} > $$ ### Sats Varje matris är radekvivalent med minst en matris på trappstegsform och med **precis en** på reducerad trappstegsform. --- ## 5. Gausselimination — Exempel > [interaktiv GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/NKmdvfuz) > [!example]- Reducera till trappstegsform > > **Startmatris:** > $$ > \begin{bmatrix} > 0 & -3 & -6 & 4 & | & 9 \\ > -1 & -2 & -1 & 3 & | & 1 \\ > -2 & -3 & 0 & 3 & | & -1 \\ > 1 & 4 & 5 & -9 & | & -7 > \end{bmatrix} > $$ > > **Steg 1:** Byt $R_1 \leftrightarrow R_4$ för att få pivotelement i första kolumnen: > $$ > \begin{bmatrix} > 1 & 4 & 5 & -9 & | & -7 \\ > -1 & -2 & -1 & 3 & | & 1 \\ > -2 & -3 & 0 & 3 & | & -1 \\ > 0 & -3 & -6 & 4 & | & 9 > \end{bmatrix} > $$ > > **Steg 2:** $R_1 + R_2 \to R_2$ och $2R_1 + R_3 \to R_3$: > $$ > \begin{bmatrix} > 1 & 4 & 5 & -9 & | & -7 \\ > 0 & \boxed{2} & 4 & -6 & | & -6 \\ > 0 & 5 & 10 & -15 & | & -15 \\ > 0 & -3 & -6 & 4 & | & 9 > \end{bmatrix} > $$ > > Fortsätt eliminera under pivoten i kolumn 2... > > **Resultat:** Variablerna som tillhör pivotkolumner är **bundna**, resten är **fria**. --- ## 6. Tolka lösningen | Variabeltyp | Beskrivning | |-------------|-------------| | **Bunden** | Tillhör en pivotkolumn, bestämd av de fria | | **Fri** | Kan sättas till valfritt värde ($s, t, u, \ldots$) | > [!example]- Exempel: Parametriserad lösning > > Om $x$ är bunden och $y, z$ är fria med $y = s$, $z = t$: > $$ > x = -2 - 2s - 3t > $$ > > Lösningen på vektorform: > $$ > (x, y, z) = (-2, 0, 0) + s(-2, 1, 0) + t(-3, 0, 1) > $$ ### Notation för fria variabler Sätt fria variabler som: $s, t, u, v, \ldots$ --- ## 7. Homogena system Om högerledet är noll i alla ekvationer i ett linjärt ekvationssystem är det **homogent**. Då är alltid $\vec{x} = \vec{0}$ (triviala lösningen) en lösning: $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 0, \quad \ldots, \quad x_n = 0 $$ --- ## 8. Ekvationssystem med parameter > [interaktiv kalkylator](https://matrixcalc.org/slu.html) > [!example]- Lös systemet beroende på parametern $a$ > > **Startmatris:** > $$ > \begin{bmatrix} > \boxed{1} & 1 & 1 & | & 1 \\ > 1 & a^2 & 1 & | & a \\ > 1 & 2 & 0 & | & -1 > \end{bmatrix} > $$ > > **Steg 1:** $R_1 \cdot (-1) + R_2 \to R_2$ och $R_1 \cdot (-1) + R_3 \to R_3$: > $$ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & a^2-1 & 0 & | & a-1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 > \end{bmatrix} > $$ > > **Steg 2:** Byt $R_2 \leftrightarrow R_3$: > $$ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ > 0 & a^2-1 & 0 & | & a-1 > \end{bmatrix} > $$ > > **Steg 3:** $R_2 \cdot (-(a^2-1)) + R_3 \to R_3$: > $$ > \begin{bmatrix} > 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ > 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ > 0 & 0 & a^2-1 & | & (a-1) + 2(a^2-1) > \end{bmatrix} > $$ > > **Fallanalys:** Antalet pivoter beror på om $a^2 - 1 = 0$ > > --- > > **Fall 1:** $a^2 - 1 \neq 0$ (dvs. $a \neq \pm 1$) > > Tre pivoter $\Rightarrow$ $x, y, z$ bundna (en unik lösning): > $$ > z = \frac{(a-1) + 2(a^2-1)}{a^2-1} = \frac{2a+3}{a+1} > $$ > > **Fall 2:** $a = 1$ > > Analysera separat... > > **Fall 3:** $a = -1$ > > Analysera separat... --- ## Resurser ### Videor - [3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7)](https://youtu.be/uQhTuRlWMxw) — visar sambandet mellan pivoter, fria variabler och [[Kolonnrum, radrum och nollrum|nollrum]] - [3Blue1Brown: Nonsquare matrices (kap 8)](https://youtu.be/v8VSDg_WQlA) — hur rader/kolumner påverkar lösningsrummet - [MIT 18.06: Lecture 2 — Elimination with Matrices](https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/resources/lecture-2-elimination-with-matrices/) — Gilbert Strangs klassiska föreläsning ### Interaktiva verktyg - [eMathHelp: Gauss-Jordan Calculator](https://www.emathhelp.net/calculators/linear-algebra/gauss-jordan-elimination-calculator/) — beräkna med visade steg - [matrixcalc.org: System of Linear Equations](https://matrixcalc.org/slu.html) ### Wikipedia - [Gaussian elimination](https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_elimination) - [Row echelon form](https://en.wikipedia.org/wiki/Row_echelon_form) ### Fördjupning - [Immersive Linear Algebra — Chapter 6: The Matrix](https://immersivemath.com/ila/ch06_matrices/ch06.html) — interaktiv 3D-bok - [Georgia Tech: Interactive Linear Algebra](https://textbooks.math.gatech.edu/ila/) — fri interaktiv lärobok