Linjära funktioner av stokastiska variabler

Kurs: S0008M Förkunskaper: Väntevärde, Varians och standardavvikelse, Oberoende stokastiska variabler

---

Väntevärdet är linjärt, så $E(a\xi +b\eta +c)=aE(\xi )+bE(\eta )+c$ gäller alltid. Variansen är det inte — för oberoende variabler gäller $V(a\xi +b\eta )=a^{2}V(\xi )+b^{2}V(\eta )$, alltså adderas varianserna men med kvadrerade koefficienter.

---

1. En variabel: $a\xi +b$

För konstanter $a$ och $b$ gäller

$$\boxed{E(a\xi +b)=aE(\xi )+b,V(a\xi +b)=a^{2}V(\xi )}$$

och därmed ${\sigma }_{a\xi +b}=|a|{\sigma }_{\xi }$.

Att lägga till $b$ flyttar hela fördelningen utan att ändra spridningen. Att multiplicera med $a$ skalar avstånden, och eftersom variansen är ett kvadratiskt mått skalas den med $a^2$.

---

2. Summor: Sats 5.1

För stokastiska variabler ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ och konstanter $c_1,\dots ,c_n$ gäller

$$\boxed{E\left(\sum _{i=1}^n{c}_i{\xi }_i\right)=\sum _{i=1}^n{c}_{i}E({\xi }_i)}$$

alltid, och om variablerna är oberoende

$$\boxed{V\left(\sum _{i=1}^n{c}_i{\xi }_i\right)=\sum _{i=1}^n{c}_i^{2}V({\xi }_i)}$$

Varianser adderas — standardavvikelser gör det inte

${\sigma }_{{\xi }_1+{\xi }_2}=\sqrt{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}$, inte ${\sigma }_1+{\sigma }_2$. Och vid en differens adderas varianserna också, eftersom $c=-1$ ger $c^2=1$:

$$V({\xi }_1-{\xi }_2)=V({\xi }_1)+V({\xi }_2)$$

Är variablerna beroende gäller väntevärdesregeln fortfarande, men variansen får en extra term med kovariansen.

---

3. Medelvärdet av oberoende likafördelade

Ett viktigt specialfall: ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ oberoende och likafördelade med väntevärde $\mu$ och standardavvikelse $\sigma$. För summan och medelvärdet $\bar{\xi }=\frac{1}{n}\sum {\xi }_i$ ger Sats 5.1

$$E(\sum {\xi }_i)=n\mu ,V(\sum {\xi }_i)=n{\sigma }^2,E(\bar{\xi })=\mu ,V(\bar{\xi })=\frac{{\sigma }^2}{n}$$

Summans standardavvikelse växer bara som $\sqrt{n}$, och medelvärdets krymper som $\sigma /\sqrt{n}$. Det är skälet till att upprepade mätningar lönar sig — se Medelvärdets fördelning.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 8, övning 4 — Försök i två etapper

Ett vetenskapligt försök består av två etapper, där den andra inte kan påbörjas förrän den första är klar. Låt ${\xi }_1$ och ${\xi }_2$ vara tiden (minuter) för respektive etapp, och anta att de är oberoende med $E({\xi }_1)=120$, $V({\xi }_1)=36$, $E({\xi }_2)=250$ och $V({\xi }_2)=121$. Bestäm väntevärde och standardavvikelse för den totala tiden $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2$. Diskutera hur resultatet kan förändras om variablerna är beroende.

Lösning

Väntevärde. Gäller alltid:

$$E(\xi )=E({\xi }_1)+E({\xi }_2)=120+250=\boxed{370\text{ min}}$$

Varians och standardavvikelse. Oberoendet ger

$$V(\xi )=V({\xi }_1)+V({\xi }_2)=36+121=157,{\sigma }_{\xi }=\sqrt{157}\approx \boxed{12,53\text{ min}}$$

Om de är beroende. Väntevärdet ändras inte. Variansen kan däremot ändras mycket. Två extremfall: om ${\xi }_2$ alltid är en exakt kopia av ${\xi }_1$ blir $V({\xi }_1+{\xi }_1)=V(2{\xi }_1)=4V({\xi }_1)$, och om de tar ut varandra helt, som ${\xi }_1-{\xi }_1=0$, blir variansen $0$.

Facit: E(ξ) = 370, σ = 12,53. Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Lektion 8, övning 5 — Fem byggelement

Vid tillverkning av byggelement varierar längden, och längderna kan betraktas som oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde 1 m och standardavvikelse 0,005 m. Vi vill ta ut fem element som ska bli 5 meter sammanlagt.

Metod 1: välj ett element på måfå och slipa till fyra andra så att de blir exakt lika långa som det första.

Metod 2: ta fem element på måfå.

Vilken metod är bäst, i meningen att standardavvikelsen för den totala längden är minst? Slipningen antas exakt. Varför vill vi ha liten standardavvikelse, och är resultatet intuitivt rimligt?

Lösning

Beteckningar. ${\xi }_k$ = längden (m) av element nummer $k$, $k=1,\dots ,5$, oberoende med $E({\xi }_k)=1$ och $\sigma =0,005$. Låt $\xi$ vara den totala längden.

Metod 1. Alla fem blir lika långa som det första, så $\xi =5{\xi }_1$:

$$E(\xi )=5,V(\xi )=25V({\xi }_1)=25\cdot 0,005^2=0,000625,{\sigma }_{\xi }=5\sigma =0,025\text{ m}$$

Metod 2. $\xi ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3+{\xi }_4+{\xi }_5$ med oberoende termer:

$$E(\xi )=5,V(\xi )=5V({\xi }_1)=0,000125,{\sigma }_{\xi }=\sqrt{5}\sigma \approx 0,011\text{ m}$$

Svar. $\boxed{\text{Metod 2}}$ ger minst standardavvikelse. Båda metoderna träffar 5 m i genomsnitt, men liten standardavvikelse betyder att den verkliga längden sällan hamnar långt ifrån.

Rimlighet. Med metod 1 upprepas det första elementets fel fem gånger. Med metod 2 är felen oberoende, så de tar delvis ut varandra: ett för långt element kompenseras ofta av ett för kort.

Facit: metod 2, eftersom V(ξ₁ + … + ξ₅) = 0,000125 < 0,000625 = V(5ξ₁). Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

Se även

• Väntevärde
• Varians och standardavvikelse
• Oberoende stokastiska variabler
• Summor av normalfördelade stokastiska variabler
• Medelvärdets fördelning
• Kovarians

Resurser

• Khan Academy: Combining random variables
• Wikipedia: Variance — sum of uncorrelated variables

---

← Median och kvantiler · S0008M · Oberoende stokastiska variabler →