---
kurs:
  - S0008M
tags:
  - matematik
  - sannolikhetslära
  - sats
förkunskaper:
  - "[[Väntevärde]]"
  - "[[Varians och standardavvikelse]]"
  - "[[Oberoende stokastiska variabler]]"
status: utkast
aliases:
  - Linjärkombinationer
  - Summor av stokastiska variabler
  - Sats 5.1
  - Räkneregler för väntevärde och varians
---

> **Kurs:** S0008M
> **Förkunskaper:** [[Väntevärde]], [[Varians och standardavvikelse]], [[Oberoende stokastiska variabler]]

---

Väntevärdet är linjärt, så $E(a\xi+b\eta+c)=aE(\xi)+bE(\eta)+c$ gäller alltid. Variansen är det inte — för oberoende variabler gäller $V(a\xi+b\eta)=a^2V(\xi)+b^2V(\eta)$, alltså adderas varianserna men med kvadrerade koefficienter.

---

## 1. En variabel: $a\xi + b$

För konstanter $a$ och $b$ gäller

$$
\boxed{E(a\xi + b) = aE(\xi) + b, \qquad V(a\xi + b) = a^2\,V(\xi)}
$$

och därmed $\sigma_{a\xi+b} = |a|\,\sigma_\xi$.

Att lägga till $b$ flyttar hela fördelningen utan att ändra spridningen. Att multiplicera med $a$ skalar avstånden, och eftersom variansen är ett kvadratiskt mått skalas den med $a^2$.

---

## 2. Summor: Sats 5.1

För stokastiska variabler $\xi_1,\dots,\xi_n$ och konstanter $c_1,\dots,c_n$ gäller

$$
\boxed{E\Big(\sum_{i=1}^n c_i\xi_i\Big) = \sum_{i=1}^n c_i\,E(\xi_i)}
$$

**alltid**, och om variablerna är [[Oberoende stokastiska variabler|oberoende]]

$$
\boxed{V\Big(\sum_{i=1}^n c_i\xi_i\Big) = \sum_{i=1}^n c_i^2\,V(\xi_i)}
$$

> [!warning] Varianser adderas — standardavvikelser gör det inte
> $\sigma_{\xi_1+\xi_2} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$, inte $\sigma_1 + \sigma_2$. Och vid en *differens* adderas varianserna också, eftersom $c = -1$ ger $c^2 = 1$:
> $$
> V(\xi_1 - \xi_2) = V(\xi_1) + V(\xi_2)
> $$

Är variablerna beroende gäller väntevärdesregeln fortfarande, men variansen får en extra term med [[Kovarians|kovariansen]].

---

## 3. Medelvärdet av oberoende likafördelade

Ett viktigt specialfall: $\xi_1,\dots,\xi_n$ oberoende och likafördelade med väntevärde $\mu$ och standardavvikelse $\sigma$. För summan och medelvärdet $\bar\xi = \frac1n\sum\xi_i$ ger Sats 5.1

$$
E\Big(\sum\xi_i\Big) = n\mu, \quad V\Big(\sum\xi_i\Big) = n\sigma^2, \qquad E(\bar\xi) = \mu, \quad V(\bar\xi) = \dfrac{\sigma^2}{n}
$$

Summans standardavvikelse växer bara som $\sqrt n$, och medelvärdets krymper som $\sigma/\sqrt n$. Det är skälet till att upprepade mätningar lönar sig — se [[Medelvärdets fördelning]].

---

## 4. Lösta lektionsuppgifter

> [!example]- Lektion 8, övning 4 — Försök i två etapper
> Ett vetenskapligt försök består av två etapper, där den andra inte kan påbörjas förrän den första är klar. Låt $\xi_1$ och $\xi_2$ vara tiden (minuter) för respektive etapp, och anta att de är oberoende med $E(\xi_1) = 120$, $V(\xi_1) = 36$, $E(\xi_2) = 250$ och $V(\xi_2) = 121$. Bestäm väntevärde och standardavvikelse för den totala tiden $\xi = \xi_1 + \xi_2$. Diskutera hur resultatet kan förändras om variablerna är beroende.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Väntevärde.** Gäller alltid:
> > $$
> > E(\xi) = E(\xi_1) + E(\xi_2) = 120 + 250 = \boxed{370 \text{ min}}
> > $$
> >
> > **Varians och standardavvikelse.** Oberoendet ger
> > $$
> > V(\xi) = V(\xi_1) + V(\xi_2) = 36 + 121 = 157, \qquad \sigma_\xi = \sqrt{157} \approx \boxed{12{,}53 \text{ min}}
> > $$
> >
> > **Om de är beroende.** Väntevärdet ändras inte. Variansen kan däremot ändras mycket. Två extremfall: om $\xi_2$ alltid är en exakt kopia av $\xi_1$ blir $V(\xi_1 + \xi_1) = V(2\xi_1) = 4V(\xi_1)$, och om de tar ut varandra helt, som $\xi_1 - \xi_1 = 0$, blir variansen $0$.
> >
> > *Facit: E(ξ) = 370, σ = 12,53. Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.*

> [!example]- Lektion 8, övning 5 — Fem byggelement
> Vid tillverkning av byggelement varierar längden, och längderna kan betraktas som oberoende likafördelade stokastiska variabler med väntevärde 1 m och standardavvikelse 0,005 m. Vi vill ta ut fem element som ska bli 5 meter sammanlagt.
>
> **Metod 1:** välj ett element på måfå och slipa till fyra andra så att de blir exakt lika långa som det första.
>
> **Metod 2:** ta fem element på måfå.
>
> Vilken metod är bäst, i meningen att standardavvikelsen för den totala längden är minst? Slipningen antas exakt. Varför vill vi ha liten standardavvikelse, och är resultatet intuitivt rimligt?
>
> > [!note]- Lösning
> > **Beteckningar.** $\xi_k$ = längden (m) av element nummer $k$, $k = 1,\dots,5$, oberoende med $E(\xi_k) = 1$ och $\sigma = 0{,}005$. Låt $\xi$ vara den totala längden.
> >
> > **Metod 1.** Alla fem blir lika långa som det första, så $\xi = 5\xi_1$:
> > $$
> > E(\xi) = 5, \qquad V(\xi) = 25\,V(\xi_1) = 25\cdot0{,}005^2 = 0{,}000625, \qquad \sigma_\xi = 5\sigma = 0{,}025 \text{ m}
> > $$
> >
> > **Metod 2.** $\xi = \xi_1 + \xi_2 + \xi_3 + \xi_4 + \xi_5$ med oberoende termer:
> > $$
> > E(\xi) = 5, \qquad V(\xi) = 5\,V(\xi_1) = 0{,}000125, \qquad \sigma_\xi = \sqrt5\,\sigma \approx 0{,}011 \text{ m}
> > $$
> >
> > ![[lek08-byggelement.png|440]]
> >
> > **Svar.** $\boxed{\text{Metod 2}}$ ger minst standardavvikelse. Båda metoderna träffar 5 m i genomsnitt, men liten standardavvikelse betyder att den verkliga längden sällan hamnar långt ifrån.
> >
> > **Rimlighet.** Med metod 1 upprepas det första elementets fel fem gånger. Med metod 2 är felen oberoende, så de tar delvis ut varandra: ett för långt element kompenseras ofta av ett för kort.
> >
> > *Facit: metod 2, eftersom V(ξ₁ + … + ξ₅) = 0,000125 < 0,000625 = V(5ξ₁). Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.*

---

## Se även

- [[Väntevärde]]
- [[Varians och standardavvikelse]]
- [[Oberoende stokastiska variabler]]
- [[Summor av normalfördelade stokastiska variabler]]
- [[Medelvärdets fördelning]]
- [[Kovarians]]

## Resurser

- [Khan Academy: Combining random variables](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/random-variables-stats-library)
- [Wikipedia: Variance — sum of uncorrelated variables](https://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Sum_of_uncorrelated_variables_(Bienaym%C3%A9_formula))

---

← [[Median och kvantiler]] · [[S0008M]] · [[Oberoende stokastiska variabler]] →