Röntgenstrålning

Kurs: F0005T Förkunskaper: Fotonen

---

Röntgenstrålning med typisk våglängd $0,001$–$1$ nm produceras när elektroner accelererade genom spänningen $V$ bromsas in i ett mål — den omvända processen mot fotoelektriska effekten, elektron till foton i stället för foton till elektron. Vågmodellen förutsäger alla frekvenser, men experimentet visar en skarp undre gräns för våglängden som bara beror på accelerationsspänningen: den kortaste våglängden fås när hela elektronens kinetiska energi blir en enda foton.

$$\boxed{{\lambda }_{\min }=\frac{hc}{eV}}$$

Fysika: Fd3 (gränsvåglängd för kontinuerlig röntgenstrålning, med $U$ för spänningen)

---

Formeln, symbol för symbol

$$\underset{\begin{array}{c}\text{kortaste}\\ \text{va˚gla¨ngden}\end{array}}{\underbrace{{\lambda }_{\min }}}=\frac{\stackrel{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{\overbrace{hc}}}{\underset{\begin{array}{c}\text{en elektrons energi}\\ \text{vid anoden}\end{array}}{\underbrace{eV}}}$$

Den kortaste våglängden får man när hela elektronens energi $eV$ blir en enda foton. Dubblar man spänningen halveras ${\lambda }_{\min }$.

---

1. Röntgenröret

En glödande katod släpper ut elektroner (termisk emission), och spänningen $V$ mellan katod och anod accelererar dem. Varje elektron har laddningen $-e$ och får den kinetiska energin

$$K=eV$$

när den når anoden. Där bromsas den in och en del av energin blir röntgenfotoner. Katodens utträdesarbete och elektronernas starthastighet är försumbara jämfört med $eV$, som är flera tusen elektronvolt.

Röntgenröret. Glödkatoden kokar ut elektroner, spänningen $V$ accelererar dem mot anoden, och där bromsas de in och sänder ut röntgen. Ingen foton kan få mer energi än $eV$, därav ${\lambda }_{\min }$.

---

2. Den kortaste våglängden

Den mest energirika fotonen uppstår när elektronen stoppas i en enda smäll och hela $K$ blir en enda foton:

$$h{f}_{\max }=eV$$

Med $f=c/\lambda$ svarar störst frekvens mot minst våglängd:

$$\frac{hc}{{\lambda }_{\min }}=eV$$

vilket ger formeln i rutan. Två saker följer direkt:

• ${\lambda }_{\min }$ beror bara på spänningen — inte på anodmaterialet och inte på strömmen genom röret.
• Med $hc\approx 1240$ eV·nm blir ${\lambda }_{\min }$ i nm lika med $1,24$ delat med spänningen i kV.

Vågmodellen kan inte förklara gränsen: en inbromsad laddning borde stråla på alla frekvenser, ungefär som cymbaler som slås ihop ger ljud i alla frekvenser.

---

3. Spektrumets två delar

Ett uppmätt röntgenspektrum består av två bidrag:

1. Ett kontinuerligt spektrum från elektroner som bromsas in i många steg, se Bromsstrålning. Det börjar vid ${\lambda }_{\min }$ och sträcker sig mot längre våglängder.
2. Skarpa toppar med våglängder som är typiska för anodens grundämne. De uppstår när en inkommande elektron slår ut en elektron ur ett inre skal och en elektron längre ut faller ned i hålet, se Moseleys lag. $K_{\alpha }$ är övergången från $n=2$ till $n=1$, $K_{\beta }$ från $n=3$ till $n=1$.

Röntgenspektrum från en molybdenanod vid $35$ kV. Kontinuumet börjar vid ${\lambda }_{\min }=hc/eV$ och topparna $K_{\alpha }$ ($0,071$ nm) och $K_{\beta }$ ($0,063$ nm) är molybdens egna. Kontinuets form är schematisk.

Höjer vi spänningen flyttas ${\lambda }_{\min }$ åt vänster medan topparna står kvar. Ökar vi strömmen blir allt starkare men ingenting flyttas.

Vanliga fel

• Spänningen i kV sätts in som V. $30$ kV är $3,0\cdot 10^4$ V; med fel faktor tusen blir ${\lambda }_{\min }$ helt fel.
• ${\lambda }_{\min }$ beror på anodmaterialet. Det gör den inte — bara topparna gör det.
• Strömmen påverkar ${\lambda }_{\min }$. Fler elektroner ger fler fotoner, inte mer energirika.
• ${\lambda }_{\min }$ och ${\lambda }_{\max }$ förväxlas. Spektrumet har en skarp undre gräns i våglängd, som svarar mot en övre gräns i frekvens och fotonenergi.

---

4. Lösta exempel

Exempel — Tandröntgen vid 30 kV

Ett röntgenrör arbetar med $30,0$ kV. Bestäm den kortaste våglängden och den högsta frekvensen i strålningen.

Lösning

Kortaste våglängden. Elektronens energi är $eV=30,0$ keV, så

$${\lambda }_{\min }=\frac{hc}{eV}=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{30,0\cdot 10^3\text{ eV}}=\boxed{0,0413\text{ nm}}$$

Högsta frekvensen.

$$f_{\max }=\frac{eV}{h}=\frac{30,0\cdot 10^3\text{ eV}}{4,136\cdot 10^{-15}\text{ eV}\cdot \text{s}}=\boxed{7,25\cdot 10^{18}\text{ Hz}}$$

Kontroll: $c/{\lambda }_{\min }=2,998\cdot 10^8/4,13\cdot 10^{-11}=7,26\cdot 10^{18}$ Hz.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Exempel — Spänningen ur spektrumet

Ett uppmätt röntgenspektrum har sin kortaste våglängd vid $0,0500$ nm. Vilken spänning ligger över röret?

Lösning

Lös ut spänningen ur $eV=hc/{\lambda }_{\min }$:

$$eV=\frac{1240\text{ eV}\cdot \text{nm}}{0,0500\text{ nm}}=24800\text{ eV}$$

så $V=\boxed{24,8\text{ kV}}$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Läsning

• 38.2 Light Emitted as Photons: X-Ray Production

---

← Fotonen · F0005T · Bromsstrålning →