---
kurs:
  - F0005T
tags:
  - fysik
  - kvantfysik
  - fenomen
förkunskaper:
  - "[[Fotonen]]"
status: utkast
aliases:
  - Röntgenstrålar
  - Minimivåglängd
  - Röntgenrör
---

> **Kurs:** F0005T
> **Förkunskaper:** [[Fotonen]]

---

Röntgenstrålning med typisk våglängd $0{,}001$–$1$ nm produceras när elektroner accelererade genom spänningen $V$ bromsas in i ett mål — den omvända processen mot [[Fotoelektriska effekten|fotoelektriska effekten]], elektron till foton i stället för foton till elektron. Vågmodellen förutsäger alla frekvenser, men experimentet visar en skarp undre gräns för våglängden som bara beror på accelerationsspänningen: den kortaste våglängden fås när hela elektronens kinetiska energi blir en enda foton.

$$
\boxed{\;\lambda_{\min}=\dfrac{hc}{eV}\;}
$$
*Fysika: Fd3 (gränsvåglängd för kontinuerlig röntgenstrålning, med $U$ för spänningen)*

![[f05-bromsspektrum-spanningar.png|520]]

---

## Formeln, symbol för symbol

$$
\underbrace{\lambda_{\min}}_{\substack{\text{kortaste}\\\text{våglängden}}}
=\dfrac{\overbrace{hc}^{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}}{\underbrace{e\,V}_{\substack{\text{en elektrons energi}\\\text{vid anoden}}}}
$$

Den kortaste våglängden får man när **hela** elektronens energi $eV$ blir en enda foton. Dubblar man spänningen halveras $\lambda_{\min}$.

---

## 1. Röntgenröret

En glödande katod släpper ut elektroner (termisk emission), och spänningen $V$ mellan katod och anod accelererar dem. Varje elektron har laddningen $-e$ och får den kinetiska energin

$$
K=eV
$$

när den når anoden. Där bromsas den in och en del av energin blir röntgenfotoner. Katodens utträdesarbete och elektronernas starthastighet är försumbara jämfört med $eV$, som är flera tusen elektronvolt.

![[f05-rontgenror.png|520]]

*Röntgenröret. Glödkatoden kokar ut elektroner, spänningen $V$ accelererar dem mot anoden, och där bromsas de in och sänder ut röntgen. Ingen foton kan få mer energi än $eV$, därav $\lambda_{\min}$.*

---

## 2. Den kortaste våglängden

Den mest energirika fotonen uppstår när elektronen stoppas i en enda smäll och **hela** $K$ blir en enda foton:

$$
hf_{\max}=eV
$$

Med $f=c/\lambda$ svarar störst frekvens mot minst våglängd:

$$
\dfrac{hc}{\lambda_{\min}}=eV
$$

vilket ger formeln i rutan. Två saker följer direkt:

- $\lambda_{\min}$ beror **bara på spänningen** — inte på anodmaterialet och inte på strömmen genom röret.
- Med $hc\approx1240$ eV·nm blir $\lambda_{\min}$ i nm lika med $1{,}24$ delat med spänningen i kV.

Vågmodellen kan inte förklara gränsen: en inbromsad laddning borde stråla på alla frekvenser, ungefär som cymbaler som slås ihop ger ljud i alla frekvenser.

---

## 3. Spektrumets två delar

Ett uppmätt röntgenspektrum består av två bidrag:

1. **Ett kontinuerligt spektrum** från elektroner som bromsas in i många steg, se [[Bromsstrålning]]. Det börjar vid $\lambda_{\min}$ och sträcker sig mot längre våglängder.
2. **Skarpa toppar** med våglängder som är typiska för anodens grundämne. De uppstår när en inkommande elektron slår ut en elektron ur ett inre skal och en elektron längre ut faller ned i hålet, se [[Moseleys lag]]. $K_\alpha$ är övergången från $n=2$ till $n=1$, $K_\beta$ från $n=3$ till $n=1$.

![[f05-rontgen-spektrum.png|520]]

*Röntgenspektrum från en molybdenanod vid $35$ kV. Kontinuumet börjar vid $\lambda_{\min}=hc/eV$ och topparna $K_\alpha$ ($0{,}071$ nm) och $K_\beta$ ($0{,}063$ nm) är molybdens egna. Kontinuets form är schematisk.*

Höjer vi spänningen flyttas $\lambda_{\min}$ åt vänster medan topparna står kvar. Ökar vi strömmen blir allt starkare men ingenting flyttas.

> [!warning] Vanliga fel
> - **Spänningen i kV sätts in som V.** $30$ kV är $3{,}0\cdot10^{4}$ V; med fel faktor tusen blir $\lambda_{\min}$ helt fel.
> - **$\lambda_{\min}$ beror på anodmaterialet.** Det gör den inte — bara topparna gör det.
> - **Strömmen påverkar $\lambda_{\min}$.** Fler elektroner ger fler fotoner, inte mer energirika.
> - **$\lambda_{\min}$ och $\lambda_{\max}$ förväxlas.** Spektrumet har en skarp *undre* gräns i våglängd, som svarar mot en *övre* gräns i frekvens och fotonenergi.

---

## 4. Lösta exempel

> [!example]- Exempel — Tandröntgen vid 30 kV
> Ett röntgenrör arbetar med $30{,}0$ kV. Bestäm den kortaste våglängden och den högsta frekvensen i strålningen.
>
> > [!note]- Lösning
> > **Kortaste våglängden.** Elektronens energi är $eV=30{,}0$ keV, så
> > $$
> > \lambda_{\min}=\dfrac{hc}{eV}=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{30{,}0\cdot10^{3}\text{ eV}}=\boxed{0{,}0413\text{ nm}}
> > $$
> >
> > **Högsta frekvensen.**
> > $$
> > f_{\max}=\dfrac{eV}{h}=\dfrac{30{,}0\cdot10^{3}\text{ eV}}{4{,}136\cdot10^{-15}\text{ eV}\cdot\text{s}}=\boxed{7{,}25\cdot10^{18}\text{ Hz}}
> > $$
> > Kontroll: $c/\lambda_{\min}=2{,}998\cdot10^{8}/4{,}13\cdot10^{-11}=7{,}26\cdot10^{18}$ Hz.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

> [!example]- Exempel — Spänningen ur spektrumet
> Ett uppmätt röntgenspektrum har sin kortaste våglängd vid $0{,}0500$ nm. Vilken spänning ligger över röret?
>
> > [!note]- Lösning
> > Lös ut spänningen ur $eV=hc/\lambda_{\min}$:
> > $$
> > eV=\dfrac{1240\text{ eV}\cdot\text{nm}}{0{,}0500\text{ nm}}=24\,800\text{ eV}
> > $$
> > så $V=\boxed{24{,}8\text{ kV}}$.
> >
> > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.*

## Läsning

- [[z.University Physics.pdf#page=1289|38.2 Light Emitted as Photons: X-Ray Production]]

---

← [[Fotonen]] · [[F0005T]] · [[Bromsstrålning]] →