Linjära avbildningar

Kapitel: 1.8–1.9 · Ämne: Linjär algebra Förkunskaper: Matrisinvers, Matriser

---

1. Utökad sats för inverterbara matriser

Sats (TFAE för $n\times n$ matris)

Följande är ekvivalenta:

1. $A$ är inverterbar
2. $A\vec{x}=\vec{0}\Rightarrow \vec{x}=\vec{0}$
3. $A\vec{x}=\vec{b}$ har lösning för varje $\vec{b}$
4. $A\vec{x}=\vec{b}$ har precis en lösning för varje $\vec{b}$

Höger- och vänsterinvers

För $n\times n$ matriser $A$, $B$, $C$:

• $AC=I\Rightarrow A^{-1}=C$ (högerinvers)
• $BA=I\Rightarrow A^{-1}=B$ (vänsterinvers)

---

2. Linjära avbildningar

3B1B: Linear transformations and matrices

2.1 Definition

En funktion $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ är en linjär avbildning om:

$$\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n\stackrel{T}{\to }A\vec{x}\in {\mathbb{R}}^m$$

Vi skriver $T=T_A$ där $T_A(\vec{x})=A\vec{x}$.

2.2 Egenskaper

Egenskap	Definition
Additiv	$T_A(\vec{x}+\vec{y})=T_A(\vec{x})+T_A(\vec{y})$
Homogen	$T_A(c\vec{x})=c{T}_A(\vec{x})$
Linjär	$T_A(c\vec{x}+d\vec{y})=cT(\vec{x})+dT(\vec{y})$

---

3. Fundamental sats

3.1 Sats

En avbildning $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ är en matrisavbildning (dvs. $T=T_A$ för någon matris $A$) om och endast om:

1. $T(\vec{x}+\vec{y})=T(\vec{x})+T(\vec{y})$ (additiv)
2. $T(c\vec{x})=cT(\vec{x})$ (homogen)

$$\boxed{\text{Linja¨r}⟺\text{Matrisavbildning}}$$

3.2 Sats: Unikhet

Om $T_A(\vec{x})=T_B(\vec{x})$ för alla $\vec{x}\in {\mathbb{R}}^n$, då är $A=B$.

---

4. Standardbasvektorer och standardmatrisen

$${\vec{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\vec{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\dots {\vec{e}}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$

Definition: Standardmatrisen för en linjär avbildning $T$ är:

$$\boxed{A=[T({\vec{e}}_1)T({\vec{e}}_2)\cdots T({\vec{e}}_n)]}$$

där ${\vec{e}}_i$ är standardbasvektorerna.

Bestäm standardmatrisen

Givet $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ definierad av:

$$T\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x_1-x_2\\ x_1+3x_2\\ x_1\end{array}\right)$$

Beräkna:

$$T({\vec{e}}_1)=T\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right),T({\vec{e}}_2)=T\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$$

Standardmatrisen:

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\\ 1& 0\end{array}\right]$$

---

5. Två typer av uppgifter

Fråga	Beskrivning
”På vad avbildas $\vec{v}$?”	Beräkna $T(\vec{v})=A\vec{v}$
“Vad avbildas på $\vec{w}$?”	Lös $A\vec{x}=\vec{w}$

---

6. Linjära operatorer i ${\mathbb{R}}^2$

3B1B: Linear transformations · interaktiv GeoGebra

6.1 Spegling

Spegling genom en linje som går genom origo.

Tillvägagång: Gå vinkelrätt mot speglingslinjen och gå lika långt åt andra hållet.

Spegling	Matris
I x-axeln	$S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$
I y-axeln	$S=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
I linjen $y=x$	$S=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

Varför måste speglingslinjen gå genom origo?

Annars är avbildningen inte linjär (den bevarar inte nollvektorn).

---

6.2 Projektion

Ortogonal projektion på en linje genom origo.

Projektion	Matris
På x-axeln	$P=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$
På y-axeln	$P=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$
På linjen $y=x$	$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$

---

6.3 Rotation i ${\mathbb{R}}^2$

Rotation moturs med vinkel $\theta$:

$$\boxed{R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]}$$

Härledning:

$$\vec{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r\cos \varphi \\ r\sin \varphi \end{array}\right)$$ $$R_{\theta }(\vec{x})=\left(\begin{array}{c}r\cos (\varphi +\theta )\\ r\sin (\varphi +\theta )\end{array}\right)$$

Använd additionsformlerna för att få rotationsmatrisen.

Rotation $\frac{\pi }{3}$: Vad avbildas på $(1,2)$?

$$R_{\frac{\pi }{3}}=\left[\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{3}& -\sin \frac{\pi }{3}\\ \sin \frac{\pi }{3}& \cos \frac{\pi }{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

Lös $R_{\frac{\pi }{3}}\vec{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

Rotation medurs

30° medurs = $-30°$ moturs, så använd $R_{-30°}$

---

7. Sammansättningar av avbildningar

3B1B: Matrix multiplication as composition

7.1 Definition

Givet:

• $S:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^m$
• $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^k$

Sammansättningen:

$$S\circ T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m,(S\circ T)(\vec{x})=S(T(\vec{x}))$$

7.2 Satser

Sats 1: Om $S$ och $T$ är linjära, så är $S\circ T$ linjär.

Sats 2: Om $S=S_A$ och $T=T_B$, så är:

$$\boxed{S\circ T=T_{AB}}$$

Bevis: $(S\circ T)(\vec{x})=S(T(\vec{x}))=S(B\vec{x})=A(B\vec{x})=(AB)\vec{x}$

Formel:

$$T_A\circ T_B=T_{AB}$$

Matrismultiplikation är ej kommutativ

$AB\ne BA$ i allmänhet! Ordningen spelar roll.

Kan man alltid gå tillbaka?

Nej, det kräver att avbildningen är injektiv (en-till-en).

---

8. Inverser av linjära avbildningar

Sats

$$\boxed{T_A^{-1}=T_{A^{-1}}}$$

Bevis:

$$T_{A^{-1}}\circ T_A(\vec{x})=T_{A^{-1}}(A\vec{x})=A^{-1}(A\vec{x})=I\vec{x}=\vec{x}$$

Krav

Avbildningen måste vara $T_A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ (kvadratisk matris).

---

9. Exempel: Sammansatt avbildning

Rotation följt av spegling

Problem: Bestäm matrisen för avbildningen som:

1. Först roterar $\frac{\pi }{3}$ moturs
2. Sedan speglar i x-axeln

På vad avbildas $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$?

---

Steg 1: Rotationsmatris

$$R_{\frac{\pi }{3}}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

Steg 2: Speglingsmatris (i x-axeln)

$$S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

Steg 3: Sammansatt matris (spegling $\circ$ rotation = $S\cdot R$)

$$S\cdot R_{\frac{\pi }{3}}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]$$

Steg 4: Avbilda vektorn

$$\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}1-\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}-1\end{array}\right)$$

---

10. Kvadrater av operatorer

Operator	Beräkning	Resultat
Spegling $S$ (i $y=x$)	$S^2=S\circ S$	$S^2=I$
Projektion $P$ (på $y=x$)	$P^2=P\circ P$	$P^2=P$ (idempotent)
Rotation $R_{\theta }$	$R_{\theta }^2=R_{\theta }\circ R_{\theta }$	$R_{\theta }^2=R_{2\theta }$

Beräkningar

Spegling i $y=x$:

$$S^2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=I$$

Projektion på $y=x$:

$$P^2={\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]}^2=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]=P$$

Rotation:

$$R_{\theta }^2=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right]=R_{2\theta }$$

---

11. Inverser av operatorer

Operator	Invers	Kommentar
Spegling $S$	$S^{-1}=S$	Spegling är sin egen invers
Projektion $P$	Existerar ej	Singulär matris
Rotation $R_{\theta }$	$R_{\theta }^{-1}=R_{-\theta }$	Rotera tillbaka

Varför är projektionsmatrisen ej inverterbar?

Den är singulär — flera vektorer avbildas på samma punkt. Projektionsmatriser är aldrig inverterbara.

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Linear transformations and matrices (kap 3) — visuellt vad linjära avbildningar gör med rummet
• 3Blue1Brown: Matrix multiplication as composition (kap 4) — sammansättningar av avbildningar, hur sammansatta avbildningar motsvarar matrismultiplikation
• 3Blue1Brown: Three-dimensional linear transformations (kap 5) — avbildningar i 3D
• 3Blue1Brown: Inverse matrices, column space and null space (kap 7) — inversa avbildningar, singulära matriser

Interaktiva verktyg

GeoGebra: Matrix Transformations — applicera matriser på former, se rotation/spegling/skalning

GeoGebra: 2D Linear Transformations — dra basvektorer, se effekten

GeoGebra: Matrix Representation of Rotation — rotationsmatriser visualiserade

• Falstad: Matrix Simulation — interaktiv 2D-transformation med determinant och egenvärden
• MatVis — Interactive Matrix Visualization — inspirerad av 3B1B, sliders för matriskomponenter, egenvektorer
• Desmos: Linear Transformations
• Visualize It: Linear Transformations — skalning, rotation, skjuvning

Wikipedia

• Linear map
• Transformation matrix
• Rotation matrix
• Projection (linear algebra)
• Function composition

Fördjupning

• 3Blue1Brown: Lesson page — Linear transformations — interaktiva övningar
• 3Blue1Brown: Lesson page — Matrix multiplication — interaktiva övningar
• Georgia Tech: Interactive Linear Algebra — fri interaktiv lärobok